CINQUIÈME PARTIE. a9i

(589) La valeur de A peut se trouver d une manière plus simple en observant que A doit être égale au coefficient de p dans la valeur de T* développée et réduite à la forme linéaire. Mais d'abord il convient de ranger les racines p, toutes de la forme r* + r— », suivant l'ordre numérique des exposants «, comme on le voit ici :

p =r' + p =r' + r", p"=rs + r~\ p"=r* + r-*, p'^rfi + r-*, p* = r* + r-6.

Il en résulte que les seuls produits de deux lettres qui produisent p, soiitpp',p'p",p>y,p"p"',p"y.

Cela posé le développement de T' donne une première partie

dans laquelle il faut substituer les valeurs a -*-//,//' ==»+/>", y* =2 etc. ; et d'abord comme le terme constant a contenu dans toutes ces valeurs, est équivalent à — np—zpf — a/>" — a/?'" — a/»" — a/?*, la partie que ce terme constant introduit dans A sera

Elle pourrait être négligée pour la détermination de A et de A', mais elle ne peut 1 être pour la détermination de A", parce que l'équation 0= n-R1 +R44-R' + R'+R" cesse d'avoir lieu lorsqu'on met R1 à la place de R.

On observera encore que le terme p"* R", où l'on a p'* = a-t-p, donne un coefficient R'* ou R4 qui doit faire partie de A.

La seconde partie du développement de T* à laquelle il faut avoir égard est celle que fournissent les termes

a^'R+a^>•^Rs+a^V'R^+V>','R5+a/>''yR^ elle donne dans l'expression de A une troisième partie

aR -h aR' + aR« + aR» + aR',

laquelle étant réuriie aux deux autres, forme la valeur complète de

id2 THÉORIE DES NOMBRES.

A , savoir :

(t) A=— 2 + 2R- aR' — 3R* + 4R»,

ce qui s'accorde avec le résultat déjà trouvé.

(690) L'équation T'=AT dans laquelle on mettra successivement R',RJ, R4, Rs , à la place de R , produit cette suite d'équations :