INDÉTERMINÉE

§ I où l'on se propose de décomposer un nombre donné en quatre carrés , de manière que la somme de leurs racines, prises positivement , soit égale à un nombre donné.

((il 9) I l s'agit en général de satisfaire aux deux équations

dans lesquelles a et b sont des nombres donnés, et où l'on suppose les quatre racines s ,t,u,v positives.

J'observe d'abord que x* -1- x étant toujours un nombre pair, il faut que a + b soit aussi un nombre pair; ainsi les nombres donnés a et b devront être delà même espèce, c'est-à-dire tous deux pairs, ou tous deux impairs.

En second lieu, si les quatre nombres s, t, u, v étaient égaux, on aurait a = 4A b=^s, d'où b—\Z^ ; et si , de ces quatre nombres, trois étaient nuls, on aurait a=s\ b=s, ce qui donnerait h = \/a; donc en général b doit toujours être compris entre les limites \/ a et \Z^a.

Ces conditions ne sont pas les seules qui doivent avoir lieu pour que le problème soit possible; mais avant de le considérer dans toute sa généralité, nous examinerons d'abord le cas où l'un des nombres s,t,u ,v serait zéro.

33a THÉORIE DES NOMBRES.

(620) Nous aurons, dans ce cas, à résoudre les deux équations

et voici les conditions de leur possibilité.

i* Il faut que a ne soit pas de la forme 4*(8n + 7); car on sait qu'aucun nombre de cette forme n'est la somme de trois carrés.

a" Le nombre b doit toujours être de même espèce que a; mais il faudra de plus, dans ce cas, que b soit compris entre les limites l/fl et |/3 a. En effet, si les trois nombres t, u, v étaient égaux , on aurait a=3t*,b = 3t, ce qui donnerait b — \/3a; c'est la plus grande valeur de b; la plus petite est, comme dans le cas général.

Cela posé, des trois nombres t, u, v, l'un au moins sera de même fsj)ècc que a. Soit t ce nombre, les deux autres u et v devront être tous deux pairs ou tous deux impairs. Faisant donc u + v=2p, u — v = *q, ce qui donne u=p -4- q , v—p — q, t = b — a/*, il restera à satisfaire à l'équation a = (b — a/?)*-»- (p + q)'+(p — q)' , ou à la suivante :

De là on voit que la, troisième condition nécessaire pour la posai-

bilité de la solution, est que le nombre "~ se réduise à la forme

x' -f- 3 y , ce qui aura lieu si a~ n'a que des facteurs simples de

la forme 6/1+ 1 , auxquels peuvent se joindre le facteur 3, si b est divisible par 3, et le facteur 4 , si a est de la forme Sri + 3, ou si a est divisible par 4*, auquel cas b doit être divisible par a*.

Ayant donc fait 3<1"~^ =f'-\-3^\ on en tirera q=g> P~b-—y~*

et si les trois valeurs t = b — -ip , u=p + q , v=p — q, sont toutes positives, on aura la solution des équations (2).

(62 1 } Exemple I. Soit a = 678 , b = 4o , les deux premièrescon-

dirions seront satisfei tes ; on aura ensuite 4(3 a — 6') = a 1 7= 7 . 3 1 , et puisque les facteurs 7 et 3i sont de la forme 6n + 1, la troisième condition est encore remplie.

11 reste à mettre 7.31 sous la forme f1 + 3^, ce qu'on peut fafre de deux manières, soit par les valeurs f=5t g=8> soit par les valeurs f= i3, £"=4 j et parce que, dans les deux cas, on trouve des valeurs positives pour les indéterminées t, u,v, il en résulte les deux solutions suivantes :

f>78=io'+a3'+7" j 678 = 22'+ i3*+ 5*

4o=io+a3 + 7 I 4o=aa + i3 + 5

(b'aa) Exemple IL Soit « = 8oo3, b= lai , les deux premières conditions sont remplies; la troisième Test également, puisqu'on a { (3 a — b') =468 .4 = 4 • i» 7 1 ■> et que 1 1 7 1 est un nombre premier de la forme 6n + 1. Ce nombre peut se mettre sous la forme 3a' + 3. 7', et sou produit par 4 ou i' + 3. 1', prend les deux formes 53' + 3.a:V, et 1 1 * H- 3 . 39' ; mais ces deux formes ne conduisent qu'à une seule solution , laquelle est

8oq3 = 83'+33*+5* iai =83 + 33 + 5.

(<»a3) Au moyen des formules précédentes on pourra , dans beaucoup de cas, non-seulement décomposer en trois carrés un nombre donné qui n'est pas de la forme 4*(8«+ 7), mais de plus, faire en sorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre nonne.

Si on veut décomposer un nombre. donné N en trois triangulaires dont les côtés pris ensemble fassent une somme donnée c, il faudra satisfaire aux deux équations

tu x' +x .J' +.?' . + s

Or il est visible que ce problème est renfermé dans celui que nous

venons de résoudre. Il faudra faire a = SN + 3y è = 2c+3, et après avoir trouvé les valeurs de t, u, v, on en déduira celles de

r„j, z, savoir, x=—-,y=—^-, z — ^--

Par exemple, soit N= 1000 et c = 5<), on aura « = 8oo3 et b = lai , ce qui donnera , d'après l'exemple II, la solution a-=4i, y= 16, r=a. On a en effet,

(6a4) Venons maintenant à la résolution générale des équations (1) ; elles donnent d'abord ce résultat remarquable,

d'où l'on voit que t\a — b* doit être décomposable en trois carrés, et qu'ainsi une troisième condition nécessaire pour la possibilité du problème, est que l\a — b1 ne soit pas de la forme f\k($n + 7).

Si 4« — bx n'est pas de cette forme, il sera toujours possible de satisfaire , d'une ou de plusieurs manières, à l'équation

on regardera donc xty, z comme connus, et en supposant que s, t,u,v soient rangés par ordre de grandeur, ainsi que x, y, z, on aura, pour déterminer s, t, u, v, les quatre équations

On a mis dans la troisième ± z, parce que, quoiqu'on ait par hypothèse s>t>u>v, il n'arrivera cependant pas toujours que la somme s + v soit plus grande que t + u.

Il faut maintenant que les valeurs de s, t, u,v, déduites des

équations précédentes, soient positives, sans quoi le problème ne serait qu'improprement résolu. Or cette condition peut toujours être remplie en limitant convenablement la valeur de b. Pour le faire voir, il faut examiner successivement le cas où a et b sont impairs, et celui où ils sont pairs.

Premier cas , a et h impairs.

(6a5) Dans ce cas , 4 « — b* sera de la forme 8 n + 3 , et on pourra toujours satisfaire à l'équation

(3) hci—b- = x'+y-{-z\

où x'+y+z* désigne l'une des formes trinaires du nombre 4« — b\ Ensuite on déduira des équations de l'article précédent les valeurs des indéterminées s,t,u,v, comme il suit :

Puisque les nombres b, x,y, z sont tous impairs, il faudra que l'un des nombres b + x + y + z, b+x+y — z soit de la forme 4«, et l'autre de la forme 4'*-+- a; donc, en prenant convenablement le signe de dans l'expression de.r, on aura un nombre entier pour la valeur de s , ce qui donnera ensuite des nombres entiers pour les valeurs des trois autres indéterminées. On voit par là qu'il n'y a qu'un des deux signes de z qui puisse être employé, et qu'ainsi on n'a qu'une solution pour chaque forme trinaire de 4« — b*.

(C2G) Maintenant, puisque nous avons supposé x ><X> z> il est clair que les valeurs de s , t, u , v seront toujours positives, si celle de v l'est dans le cas le moins favorable, c'est-à-dire si l'on a

— J>o, ou ^ >o.

Il suffit, pour cela, qu'on ait x+y + z<b + 4,carb — x— y — z doit toujours être divisible par 4, dans le cas dont il s'agit. Or, d'après l'équation 4« — b*=x' +y*+ z\ on a x+y+z<\/3(a— b'), et

en faisant (b + 4)' = 3(4« — , on tirera de cette équation

Si donc A, qui doit toujours être plus petit que [/A", est supposé en même temps plus grand que la limite l/(3a— 3) — i , on sera assuré que les valeurs des indéterminées s, t, u, v, déduites des formules précédentes , seront toutes positives, et qu'ainsi le problème sera résolu.

Un seul cas fait exception, c'est celui où l'on aurait à- la-fois x=y=z = \/ (4*~*') et 6=l/(3a— 3) — i ; car alors il en résulterait x+y-*-z = b + 4, et par conséquent v= — i. Mais il est facile de faire en sorte que ce cas particulier ne puisse avoir lieu , il suffit pour cela d'augmenter aussi peu qu'on voudra la limite inférieure de b. Nous supposerons donc désormais que les limites de b sont

et dans cette hypothèse les formules (4) donneront toujours des valeurs positives pour les quatre indéterminées s, t, u, v, même quand b serait égale à sa limite inférieure.

(637) En admettant la limite b > 1/(3 a — a) — 1 , on a la certitude que la solution sera donnée toujours en nombres positifs. Mais il ne s'ensuit pas que si on prenait b plus petit que cette limite (et cependant plus grand que \/a) , le problème ne pourrait être résolu en nombres positifs. Il arrivera, au contraire, assez souvent, surtout si a est un grand nombre , que des valeurs de b plus petites que la limite assignée donneront des solutions en nombres positifs; et ces solutions se trouveront également par les formules (4) , toutes les fois quelles pourront avoir lieu. C'est ce dont on verra un grand nombre d'exemples ci-après.

Second cas , a et b pairs.

(628) Les nombres a et b étant pairs , 4 a — 6* sera divisible par

4 ; et puisque cette quantité est représentée par ar*-t- y+ z1 , il faudra que les trois nombres x,y, z soient pairs. On simplifiera donc l'équation en mettant nx, ny, az à la place de x, y, z, ce qui donnera

(5) rt — (\b)'=:X'+y+ Z\

Cela posé , si a — ('-b)' n'est pas de la forme 4* {Sn + 7) , cette équation sera satisfaite par toute forme trinaire , propre ou impropre, du nombre a — (t^)'- Connaissant donc les trois nombres x, y , z, on aura pour déterminer s , t, u, v, les quatre équations

s+ t ■+■ u + v—b, s -+- t — u —V=2X, s + u — t — v=ay,

d'où l'on tire les valeurs

(6) s=~'b+x^^\ t=\b—s + x, u=±bs+y,v=ïb—s±z.

Ces valeurs seront des nombres entiers dans les deux cas que présente le signe ambigu; ainsi il en résultera toujours deux solutions, excepté le cas de z=o, où les deux solutions se réduisent à une seule.

(Gag) Maintenant, pour que ces solutions soient admissibles, il faut que les quatre nombres s ,t, u,v soient positifs, ce qui aura lieu si dans le cas le moins favorable, v est positif, ou si l'on a

Cette condition sera remplie comme dans le premier cas , en supposant &>|/(3a — a) — i. D'ailleurs on devra faire les mêmes observations que dans l'art. 627, relativement aux solutions qui peuvent avoir lieu dans certains cas où b serait inférieur à la limite assignée.

(63o) Il y a diverses remarques à faire sur la solution du problème précédent, selon les diverses formes du nombre a.

i* Si a est de la forme 4" + a, le nombre a — -b* sera de l'une des formes 4 n + 1 , f\n +a, lesquelles sont toujours décomposables en trois carrés, d'après la théorie exposée dans la troisième partie. Donc dans ce cas , les équations proposées seront toujours résolubles.

a* Si a est de la forme 8 n .4- 4 , on pourra satisfaire aux équations proposées de deux manières, les nombres s , t, u, v étant tous pairs ou tous impairs: ces deux solutions seront données par les formules (6); mais il faut, dans ce cas, que a — \b' ne soit pas de la forme 44(8« + 7).

3* Si n est de la forme 8 (2 n + 1 ) , les nombres s,t, u,v devront être pairs, et en général si a est de la forme al4+*(2«-i- 1), ces nombres devront être divisibles par a4; leur somme b devra donc être aussi divisible par 2* et même par a*+', parce que le quotient devra être pair. Soit donc a = 2*Â a\b— 24£', f = a4/, £=a4/', u = o*u\ i.»=a* v'y la solution des équations proposées se réduira à celle des équations

a=s'' + t'* + iï'+ v\ b' = s -ht' + 11 v;

elle sera donc toujours possible, puisqu'alors a! est de la forme /jn-f- 2. Mais on remarquera que dans ce cas il ne suffit pas que b soit compris entre les limites l/4« et 1/(3 « — 2) — 1 ,il faut encore que b soit divisible par ?/+«. Les autres valeurs de 6 comprises entre les limites assignées, ne pouvant satisfaire, on trouverait qu'elles réduisent a — ~b' à la forme 44(8« + 7).

On pourra descendre au-dessous de la limite 1/(3 « — 2)— 1 , pour essayer s'il y a d'autres solutions; mais il faudra toujours que les valeurs de b soient divisibles par a'-*-'.

4" Enfin si a est de la forme aa*+»(a/t -f- 1), /• n'étant pas zéro, il faudra que chacun des nombres s, t,u,v soit divisible par a4, et leur somme b par a4+ ». C'est pourquoi faisant a = a»4 a\ b = aAb', s = a*V, f=a4 /', u= 2* v = a4 v' , les équations proposées se ré-

SIXIÈME PARTIE. 33o

duiront aux suivantes ,

dans lesquelles a' sera de la forme Sn + 4, et qui se rapporteront ainsi au second eas, comme le précédent se rapporte au premier.

(63 1) La théorie exposée dans ce chapitre, est la base de la démonstration générale du théorème de Fermât, dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant; elle peut être utile dans plusieurs autres recherches d'analyse indéterminée.

On voit déjà que cette théorie donne une extension remarquable aux deux premiers cas du théorème sur les nombres polygones , puisqu'elle offre les moyens non-seulement de décomposer un nombre donné en trois ou en quatre carrés, mais de faire en sorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donné pris entre certaines limites.

§ II. Démonstration du Théorème de Fermât , sur les nombres polygones , et de quelques autres Théorèmes analogues.

(63a) On a fait voir ci-dessus (art. 1 56) qu'un nombre polygone de l'ordre m -f- a, a pour expression générale

™(xl — x) + x,

x désignant le coté de ce polygone, ou le rang qu'il tient parmi les polygones du même ordre. Cette expression prouve que o et i sont deux termes communs aux polygones de tous les ordres.

Les nombres triangulaires résultent de la supposition m = i , et les carrés de la supposition w = a; dans ces deux premiers cas, il est indifférent de prendre x positif ou négatif, et on n'obtient qu'une seule et même suite, celle des nombres triangulaires ou celle des carrés.

Mais m étant >a, l'expression générale des nombres polygones donne deux suites différentes pour chaque ordre, selon qu'on suppose x positif ou négatif. Ces deux suites sont liées entre elles par une même loi , de sorte que l'une n'est que le prolongement de l'autre; mais dans l'application au théorème de Fermât, on fait toujours abstraction de la suite formée avec des valeurs négatives de x, et on ne considère que celle qui est formée avec les valeurs positives, comme les présente le tableau du n° i5G.

(633) Cela posé, il faut démontrer quun nombre que/conque est composé d autant de polygones de l'ordre m -h a , qu'il y a d'unités dans m -t- a.

Le nombre des )>olygones qui composent un nombre donné, pourrait cependant être moindre que m -f- a; mais en regardant o

comme un polygone complétif , le nombre des polygones pourra toujours être censé m a , conformément à l'énoncé de la proposition.

Ce théorème ayant été démontré dans le Traité précédent, pour le cas des nombres triangulaires et pour celui des carrés, qui sont les deux premiers de la proposition générale, nous ne considérerons que les cas ultérieurs où l'on a m > a , savoir , m =3 pour les nombres pentagones,' m =4 pour les hexagones, et ainsi de suite.

Or d'après ce qui a été démontré dans le § précédent, il ne reste plus à établir qu'un petit nombre de propositions subsidiaires pour parvenir à celle qui fait l'objet de ce chapitre.

(634) Théorème I. « a étant un nombre impair quelconque, non « compris dans les dix suivants 1 , 3, 5, 7, 11, 1 5, 19, a3, 37 , 71, « il existe toujours deux nombres impairs consécutifs c, c — a, tels « qu'en faisant successivement b—c et b=c — a, on pourra, dans « les deux cas, satisfaire aux équations

« avec la condition que les racines s ,t ,u,v soient toutes positives.»

En effet, i°si la différence entre les limites V/4â et \/(3« — a) — 1, est égale à 4 °u plu* grand que 4» il y aura au moins quatre nombres entiers consécutifs compris entre ces limites. De ces quatre nombres, deux seront impairs et pourront être pris pour b ; les équations proposées seront donc résolubles, dans les deux cas, par les formules de l'art. 6a 5.

Or en faisant V(l\ a) — 1/ (3 a — 2) + 1 — 4 , on trouve a = 1 2 1 ; donc le nombre 1 2 1 et tous les nombres impairs plus grands que 121, jouissent de la propriété mentionnée.

2° Si ensuite on examine tous les nombres impairs au-dessous de ia 1 , on trouvera que pour une partie de ces nombres, il existe deux valeurs de b comprises entre les limites 1/4 « et |/(3 a — 2) — 1 . et que pour l'autre partie il n'existe qu'une seule valeur de b.

34a THÉORIE DES NOMBRES.

Dans le second cas, on devra essayer, d'après les formules de l'art. 6a5, si le nombre impair immédiatement inférieur, quoique plus petitque la limite 1/(3 a — 2) — 1 , ne peut pas être pris pour b , et conduire à une solution des équations ( 1 ) , dans laquelle les racines;, t , u,v soient prises positivement.

Cet essai réussira pour la plupart des nombres dont il s'agit, et il aie restera que les dix valeurs mentionnées de a, savoir, 1 , 3, 5, 7, 11, i5, 19, a3, 37, 71 , pour lesquelles il n'y a qu'une valeur de b qui satisfasse.

Voici un tableau qui contient le résultat de ces calculs.

ai, 19

ai

(635) Pour mieux faire concevoir la construction de ce tableau, nous allons donner des exemples Ae chacun des trois cas qu'il présente.

Premier cas. Si on feit a= 65 ,on trouve pour b les deux valeurs

1 5 et i3 , comprises entre les limites t/260 et i/7gî — 1 . Les mêmes valeurs auraient également lieu pour les nombres G3, 61 , 5t), 67 ; aussi voit-on dans le tableau , que pour tous les nombres impairs de (>5 à 5j, les valeurs correspondantes de b sont 1 5 et i3.

Second cas. Si on fait a = \ î , on trouve qu'il n'y a que lé nombre impair 1 1 qui soit compris entre les limites I/Ï64 etl/TÏT — 1 ;mais si on essaie la valeur suivante £ = 9, quoiqu'inférieure à la limite i/T-Ti — i,on trouve par les formules du n' 62 5, qu'elle satisfait aussi, puisqu'on a 4» =6*+ a*+ 1* et 9=6 + 2 + 1. On a donc mis dans la table les valeurs A = 11, b = 9, correspondantes au nombre « = 4ï; mais on a distingué par une * la seconde valeur y, pour avertir quelle est inférieure à la limite 1/(3 a — 2) — 1.

Troisième cas. Si on fait a = 7 1 , on ne trouve qu'un nombre impair i5, compris entre les limites qui conviennent à cette valeur de a , savoir , 1/154 et VTïï — 1 . Si ensuite ou essaie la valeur b = 1 3 , on trouve par les/brmule$;du 11* 6a5, qu'elle n'est pas admissible, . parce que l'une des indéterminées s, t, u, v serait négative. On n'a donc mis dans le tableau que la seule valeur b = 1 5 , correspondante au nombre «=71.

" (f>36) Théorème II. « Soit a tin «ombre impair quelconque-; soient « c, c — a, c — 4> - • • • d> les diverses valeurs successives de ô'avee a lesquelles on peut résoudre en nombres positifs les équations ( 1 ) ; n soit enfin r un terme quelconque de la suite o , 1 , a, 3. . . m — 2. « Si on considère la fonction

« dans laquelle b et r sont des termes pris à volonté dans les suites « qui leur sont propres, et qu'on appelle P ou P(«) la plus petite a valeur de cette fonction, Q ou Q(a) la plus grande; on aura

Q(fl) = ^(a — d) + d + m — 2

« Cela posé, je dis , i • que tous les nombres entiers compris depuis « P(ff) jusqu'à Q(«), seront représentés par la fonction Z; a° que « tous ces nombres pourront être décomposés chacun en m + a « polygones de l'ordre m a. »

En effet , 1 ° soit Z = P (a) -t- p , p étant u n nombre pris à volonté depuis i jusqu'à Q(a) — P(a), on aura pour déterminer b et r, l'équation

or puisque p et m — a sont deux nombres donnés, on voit que r est le reste de la division de p par m— 2, et que si on appelle 7 le quotient de cette division , on aura c-^~ = q , ou b = c — a q.

Il suit de là que pour chaque valeur donnée de py on n'a qu'une solution , excepté lorsque le reste r est zéro ; car alors on peut faire indifféremment r=o ou r=m — a, et il y aura deux solutions. Cependant s'il s'agit du dernier des nombres P (a)+p, qui est Q(«), il faudra prendre r=m — 2, et il n'y aura qu'une solution, parce qu'en faisant r = o, on aurait b = d— a , nombre qui n'est pas compris dans la suite c, c — 4 > d.

20 P(a) -\-p ou P +p étant un nombre quelconque pris dans la suite P, P+ 1 , P+a Q, puisqu'on peut toujours supposer

p = ™(a — b) + b + r, si on substitue dans cette expression

les valeurs de a et b données par les équations (1), on aura

Donc si on désigne en général par pol. a;, le polygone de l'ordre m + a dont le côté est p, on aura

P + p^= pol. j ■+■ pol. t ■+■ pol. u + polv + rpol. 1 ;

c'est-à-dire que le nombre V+p sera composé de quatre polygones dont les côtés sont s,t,u,v, et de r polygones égaux à l'imité;

donc comme r est <»— a ou tout au plu* il s'ensuit

ijue le nombre P +p sera composé de a polygones de l'ordre m 4- a, dont m— a sont égaux indifféremment à asro ou à l'unité.

(637) Théorème III. « Lorsque «:= lai , la plus grande valeur

« de b est a 1 , et alors on a P(a)=-(a — b) + b — 5om +zt , nom-

« ère qui, suivant la proposition précédente , est la somme de quatre « polygones de l'ordre ns~t-a.

«Gela pose, je disque tout nombreentier plusgrand que 5om+ai, « est la somme dem + a polygones de l'ordre m •+■ a, dont m — a « seront égaux à zéro ou à l'unité. »

En effet , soit a un nombre impair quelconque plus grand que 1 a i , il existera toujours, suivant le théorème I, deux nombres impairs consécutifs ctc — a , compris entre les limites l/Jâ et 1/(3 a— 2) — 1 , et il suit du théorème précédent que si l'on fait

totts les nombres entiers compris depuis P (a) jusqu'à Q (a) inclusivement, seront la somme dem+a polygones de l'ordre m + a.

Considérons maintenant le nombre P(<t-4» a), et soit tf le plirs grand nombre impair compris dans 1/(4 a -+ -8), comme c est le plus grand nombre impair compris dans ; il faut distinguer deux cas, selon qu'on a c'—c, on c'= c + a; car il est évident qu'on ne peut faire aucune autre supposition sur la valeur de c*.

(638) Si l'on a c' = c , il suffira de mettre a + a au lieu de a , dans l'expression deP(a), et on aura

comparant cette valeur avec celle de Q (a) , on en tire

Or la moindre valeur de m étant 3 , on voit que le nombre P (a -h 2) ne surpasse Q (a) que dans le seul cas de m = 3 , où l'on aP(o + 2) =Q («) -f- 1. Dans tout autre cas, P(a -t* 2) est compris dans la suite

P(tf),P(«)+ i,P(a)+ 2, Q(o).

Mais ou a vu que tous les nombres de cette suite sont composés de m 4- 2 polygones de l'ordre m h- a, et dans le cas où le terme P(a + a) sortirait de cette suite, pour y ajouter le terme suivant Q(à) 4- 1 , ce terme serait composé de quatre polygones seulement; donc tous les nombres entiers compris depuis P («) jusqua P(a+2) inclusivement, sont composés de m -f- 2 polygones.de l'ordre m -ha.

(639) En second lieu, soit c'=c+a,on aura

P(rt + 2) = ™ (a — c)+ r +

et par conséquent P(« + a)=P(a)-»-a=Q(a)— a(m — 3). De là on voit que P (a -f- a) est toujours plus petit que Q (a) , excepté dans le seul cas de m = 3 , où l'on aP(rt+a) = Q (a) ; donc tous les nombres entiers compris depuis P(tf) jusqu'à P(<* •+■ a) inclusivement, sont décomposables en m + a polygones de l'ordre m -+- a.

(640) Si on observe maintenant que dans le premier cas on a P(« + a) = P(n) + mJ et dans le second P(a + a) = P(a) -+- 2; on pourra en conclure qu'à compter d'un nombre donné a tel que a= 121, la suite P(«), P(«-»-2), P(a + 4), etc., formée en augmentant toujours a de deux unités, s'étend à l'infini. Donc tous les nombres entiers compris depuis P(iai), ou 5o/w-4-ai jusqu'à l'infini, sont décomposables en m -f- a polygones de l'ordre m + a.

Il reste à démontrer que tous les nombres inférieurs à .boni -f- ai , jouissent de la même propriété; c'est l'objet de la proposition suivante, qui complète la démonstration générale du théorème de Fermât.

((>4 1 ) Théorème IV. « Tout nombre entier plus petit que P ( 1 a 1), « ou 5o m -+- 2 1 , est la somme de m -f- a polygones de l'ordre m + a , « dont //i — 2 sont égaux à zéro ou à l'unité. »•

Soit d'abord a = 5; on voit par le tableau du n* 634 que 3 est la seule valeur correspondante de b; faisant donc c=d = ô, les formules du n* 636 donneront

P(5) = m + 3, Q(5) = aw+ i.

Au-dessous de P(5), on a les nombres i,a,3...m + a, qui sont composés d'autant de polygones égaux à i qu'ils contiennent d'unités; ainsi le théorème est vrai à leur égard , on voit que même que le dernier de ces nombres m + 2 est exprimé par un seul polygone, savoir, pol. a.

I^s nombres de P(5) à Q(5) sont composés comme l'énonce le théorème, puisque cette propriété a lieu en général pour tous le» nombres de P(a) à Q(rt). Ainsi le théorème est vérifié jusqu'au nombre Q(5) = am ■+■ i.

Soit maintenant a =7, on aura , par la table du n" 634 » c= <7= 5, ce qui donne

P(7)= m+S, Q(j) =2/rc -+- 3.

Comme la moindre valeur de m est 3 , on voit que P(7) ne surpasse Q(5) que dans le seul cas où m = 3,«t alors on a P(")=Q(5)-4- 1. Donc la propriété générale est vérifiée par tous les nombres depuis 1 jusqu'à Q(7) = am+ 3.

On pourrait continuer ainsi l'examen des cas particuliers jusqu'à P(iai); mais nous nous bornerons à un petit nombre de ras généraux qui renferment la solution de tous les cas particuliers. Il s'agit en général d'examiner si tous les nombres compris «le P(«) àP(rt+a) satisfont au théorème, ou s'il y a exception pour quelques-uns de ces nombres.

(642) Premier cas. Supposons que pour le nombre a il y ait deux valeurs correspondantes de b, savoir c et c — a, et que pour a -4- a il y ait une ou plusieurs valeurs de b, dont la plus grande soit c, on trouvera, comme dans l'article 638, que tous les nombres de P(a) à P(a+ 2) satisfont au théorème.

Second cas. Supposons que c t)t c— - a étant les deux, vafeur&de b correspondante* au nombre a, on ait c + % pour la plu» grande ou la seule valeur de & correspondante au nombre « + 9; on trouvera encore , comme dans le n* 639 , que tous les nombres de P («) à P(o + a) satisfont au théorème.

Troisième cas. Supposons que b n'ait que la seule valeur c correspondante au nombre a, et que pour a -f- a on ait une ou plusieurs valeurs de b, dont la plus grande soit c+ a, on aura, dans ce cas,

P(«)=ï(« — + Q («)="(« — c) + e + m-2, P(fl + a)="(a-c)+c+j.

De là on voit, que P(a a) ne peut surpasser Q(a) que dans le seul cas de m = 3; qu'alors on a P(a 2) =Q(a) + 1 ; que dans tous les autres cas P(a + a) sera plus petit que Q(a), ou tout au plus égal à Q(a) , et qu'ainsi tous les nombres de P(a)àP(«+ a) satisfont au théorème.

Quatrième cas. Supposons enfin que relativement à a on ait la seule valeur b~c, et relativement, à « + a, une on deux valeurs de b, dont la plus grande soit c, alors an a

On voit dans ce cas qu'il y a une lacune entre Q(a) et P(« + 2), car on a P(a-f-a) = Q(a)-|-a, et l'intermédiaire qui manque est Q(a) -f- 1 . Ainsi, sauf cette exception , le théorème démontré jusqu'à P(fl), le sera jusqu'à P(« -+- 2).

(643) Il suffît maintenant de jeter un eoup-d'ceil sur le tableau du

u° 634, pour trouver quel» sont les nombres Q(a)-+- 1 qui tomberont dans l'exception du quatrièmecas. Ces mai jbres se réduisent à quatre,

Q( 7 ) ^ 1 =c aflt-*- 4> Q(i5)+r= S m -t- 6, Q<a3) + p= $m + 8, Q(37)+ i = i4»t + io;

or l'exprasioA générale, de poL x (art. 63a) donne

pol. a= m-f-a, pol. 3= 3m -1-3,

pol. 4= 6m + 4i pol. 5=iom -I- 5,

et \rxr le moyen de ces polygone* on pourra exprimer les quatre nombres précédents comme t\ soit *

am -f- 4 = aP°l-3, 5m + 6^4pol.a + (m — a)pol. i, &m-*- 8=; pcd,4 -H apoJLa, i4m + jo= pol.5 + pol.3-t-poA.a.

Un seul cas, celui de 5/n+6, exige m -4- a polygones; les trois autres n'en exigent que deux ou trois. Donc les exceptions rentrent dans ta proposition générale ; donc , tout nombre entier est la somme de m -+- a polygones de l'ordre m -ha, dont m — 2 seront égaux à zéro ou à V unité.

(644) La démonstration que nous venons de donner du théorème de Fermât , ne suppose connue que la démonstration du premier cas de ce théorème , concernant les nombres triangulaires. Or cette proposition fait partie de la théorie générale des formes trinaires des nombres , exposée dans la troisième partie. Nous avons d'ailleurs prouvé (n* 1 57), qu'eu supposant ee premier cas démontré, on en déduit immédiatement que tout nombre entier est la somme de

35o THÉORIE DES NOMBRES.

quatre carres , ce qui est le second cas du théorème de Fermât. Ainsi 'du premier cas on déduit tous les autres.

Comme on ne peut guère douter que Fermât n'ait été réellement en possession de la démonstration générale de son théorème sur les nombres polygones, il est à croire que cette démonstration était totalement différente de celle que nous venons d'exposer. En effet, il paraît d'abord que Fermât n'avait aucune connaissance de la théorie des formes trinaires des nombres , excepté dans le cas des nombres 8n + 3, qui revient au premier cas de son théorème, mais dont il ne fait pas mention, et dans le cas des nombres premiers Hn — i , qu'il assure être de la forme ^"-f-y'-t- ar*, dont le double est la somme de trois carrés. Si Fermât eût connu la théorie dont il s'agit , il n'aurait pas restreint cette dernière propriété aux nombres premiers 8n — i, puisqu'elle s'étend généralement à tous les nombres impairs. En second lieu, si la démonstration de Fermât eût été la même que la précédente, ou fondée sur les mêmes principes , il iwaurait pas manqué d'ajouter au théorème la condition qui lui donne plus de précision et d'élégance, savoir , que sur les m + a |K>lygones de l'ordre m -+- a qui composent un nombre donné, il y en a toujours m — a qu'on peut supposer égaux à zéro ou à l'unité.

M. Cauchy a donc fait une découverte importante dans la théorie des nombres, en donnant le premier la démonstration du théorème de Fermât, devenu plus précis par la condition qu'il y a ajoutée. Riais on peut aller encore plus loin en démontrant que , passé une certaine limite facile à assigner pour chaque ordre de polygones, tout nombre donné peut être décomposé en quatre polygones ou en cinq au plus. Cette nouvelle proposition fera l'objet des recherches suivantes.

(645) Supposons que le nombre donné A soit décomposable en quatre polygones de l'ordre m 2 , il faudra faire

et déterminer les nombres a et b de manière qu'on puisse résoudre en nombres entiers positifs les équations

SIXIÈME PARTIE. 35i

or il sera possible de satisfaire à ces équations, si a et b sont de même espèce, si b est compris entre les limites \/{^a) et \/(3a — a) — i , enfin si a est impair ou double d'un impair. Il y aurait d'autres valeurs de a et de b qui permettraient d'effectuer la. résolution des équations (i); mais il suffira de considérer celles dont nous venons de faire mention.

(646) Si l'on fait successivement b= 1/4 « et b =1/ (3 a — a) — i, on trouvera que les limites de b correspondantes au nombre donné A , sont

et si on suppose que A est un grand nombre, on aura à peu près

Connaissant les diverses valenrsde* par ces limites, on connaîtra a par l'équation a — b + - (A — b) ; et comme a — b doit être pair,

il s'ensuit que est un entier. Soit cet entier —x, on aura

b = A — mx, a—b+ ax.

Cela posé, on peut démontrer les propositions suivantes.

(647) Théorème V. « m étant un nombre impair , si A est nir « nombre donné quelconque > a8/«J, je dis que A sera décompo- « sable en quatre; polygones de l'ordre m + a.»

Les limites de b étant connues , on connaîtra celles de x par l'équation x=^ï- Supposons que la différence des limites de* soit

égale à a/n ou plus grande que a m, alors la différence des limites de x sera égale à a ou plus grande que a ; donc x aura au moins deux

35a THÉORIE DES NOMBRES.

valeurs consécutives h , h + i ; et puisque m est impair, les deux valeurs correspondantes de*, tirées de l'équation b = À— mx, seront l'une paire l'autre impaire. En prenant la valeur impaire, le nombre a sera aussi impair, puisqu'on a a-=^b + rxx; on pourra donc résoudre les équations (i). Donc pour que le nombre A soit décomposable en quatre polygones de l'ordre m + a, il suffît qu'on ait

\/^ — \/^> am, ou A >ra'(l/8-+- i/6)1 , ou pl us si mplement

A > a8 m1 ; ce qui s'accorde avec l'énoncé du théorème.

On voit que ce théorème est d'une grande généralité, puisqu'il s'applique à tous les nombres plus grands que la limite aâm', et qu'il suppose seulement que l'ordre des polygones, désigné par m -t- a , est impair.

(648) Th^ossme VI. « m étant pair, tout nombre impair A>7m', « sera décomposable en quatre polygones de Tordre m + a ; et tout « nombre pair A ■+- 1> 7 m1 sera décomposable en cinq polygones « dont un sera égal à l'unité. »

En effet, si A est impair et m pair , il résulte immédiatement des équations (a) que b et « sont des nombres impairs , quel que soit x, ainsi la solution sera toujours possible s'il y aune valeur de je comprise entre les limites requises , c'est-à-dire si les limites de b différent entre elles d'une quantité plus grande que m. On devra donc avoir

V/(^)-V/(^)>'»^^^eA>7^.

Quant à la seconde partie du théorème, elle suit immédiatement de la première, puisque» retrairchant 1 du nombre pair donné, ou a un nombre impair qui est décomposable en quatre polygones de l'ordre m+n.

(649) Théorème VII. a Si m est pairement pair ou de la forme « 4»» tout nombre pair A> uflm1 sera décomposable en quatre a polygones de l'ordre «» + a. »

Car puisqu'on a a = A — (m + a) x , s'il y a deux valeurs x=h,

x=à-h i , comprises entre les limites qui conviennent à x, ou si l'on a A > 28 m* , et qu'on appelle a , a , les deux valeurs correspondantes de a, on aura a — a'=m — 2 = 4« — a; donc des deux nombres a, a , il y en aura un i m pai rement pair, et la solution sera possible.

(650) Théorème VIII. « Si m est impairement pair ou de In forme ■ !\n -+ a, tout nombre impairement pair A >^mJ sera décompo- « sable en quatre polygones de l'ordre m + a. »

Car puisqu'on aa=A — (m— -a)x, et que m — a est delà forme f\n y le nombre a sera impairement pair, quel que soit x. Il suffit donc que x ait une valeur, c'est-à-dire qu'on ait A > 7 m' , et la solution sera toujours possible.

Au moyen de ces propositions, il est démontré que tout nombre A qui passe une certaine limite , estdécomposableen quatre polygones de l'ordre m •+- a, excepté seulement le cas où m + a et A seraient l'un et l'autre divisibles par 4- Or ce cas même peut être réduit à la moitié de son étendue par la proposition suivante.

(65 1) Théorème IX. « Si m est impairement pair, ou de la forme « 4 ni -t- a, tout nombre pairement pair 4A'>»8 m1 sera décompo- « sable en quatre polygones de l'ordre m -4- a , pourvu que A' — m! « soit impair. »

Car puisqu'on a a = 4A' — lim'x et b = ^A' — ai, si l'on fait ^ a= a et ±b = b\ la résolution des équations ( 1) pourra être donnée par celles des mêmes équations où l'on mettrait à et b' à la place de a et b ; alors on aurait

a— A' — m'x, b' = zd — x.

Or puisqu'on suppose A' — m' impair, si on a une valeur impaire de x, les nombres a et b' seront impairs , et on pourra résoudre les équations (1), Il suffit donc pour cela que les limites dea difïè- II. 45

rent entre elles de deux unités au moins, ce qui aura lieu si on a 4A>a8m\

H est inutile de pousser plus loin ces recherches , puisque s'il existe des cas où un nombre pairement |>air qui surpasse la limite 28m5, ou telle autre qu'on pourrait assigner , n'est pas déco m posai) le en quatre polygones, on est sûr que ce même nombre sera décomposable en cinq polygones dont l'un sera égal à l'unité. Nous allons faire voir maintenant, par un exemple, comment on peut déterminer directement les polygones dont se compose un nombre donné quelconque.

(65a) Soit proposé de décomposer le nombre 6484 en huit ou en un moindre nombre d'octogones.

Il faut , d'après le théorème général , que A — r soit décomposable en quatre octogones, A étant le nombre proposé 6484, et r étant égal à l'un des nombres o, 1,2,3,4- Or dans le cas de m =6, les limites de b sont, suivant les formules de l'art. 646,

On satisfera toujours à ces limites, en faisant dans la première r=o, et dans la seconde r=4 , ce qui donnera

Ainsi on pourra prendre pour b un terme quelconque de la suite

Pourdéterminer x, on al'équation j:=^^^=io8o—

d'où il résulte que doit être un entier; ainsi te nombre b

devra être de l'une des formes &/* -f- o, 1 , a , 3 , 4, auxquelles répondent les valeurs r= 4 , 3, a, 1,0. Cela posé , en se conformant aux limites trouvées, on aura les valeurs de b et r, ensuite celles de jl et a , comme il suit :

ft=8i ,

a=aaia,

rt = 22lf>,

en

X= IODO ,