IO

x=io66,

a?=io66,

x= io65,

ar=io65,

io65,

fl = 2222 ,

#= io6'5,

x= io65,

De là se déduisent plusieurs solutions du problème proposé.

i° Les trois valeurs impaires de a et b auxquelles correspond la valeur r= 1 , donneront trois solutions dont le résultat est que le nombre proposé 6484 se forme de quatre octogones et d'un cinquième égal à l'unité.

2* Les deux valeurs impaires de a et b auxquelles répond la valeur r= 3 , donneront deux solutions par lesquelles le nombre proposé se décompose en sept octogones , dont trois sont égaux à l'unité.

3° lies deux valeurs impairement paires de « qui correspondent à la valeur r — 2 , donneront deux solutions par lesquelles le nombre proposé se décompose en six octogones dont deux sont égaux a l'unité.

4* Les deux valeurs pairement paires de a auxquelles répond la valeur r= 4 , sont encore admissibles , parce que le nombre a — jb* qui en résulte , peut être décomposé en trois carrés. On obtient par là deux autres décompositions du nombre donné en huit octogones, dont quatre sont égaux à l'unité.

5' Enfin si on voulait déduire trois autres solutions des valeurs de a et b qui correspondent à la valeur r=o, on trouverait que ces solutions ne peuvent avoir lieu , parce que dans ces trois cas le nombre a — jb' se rapporte à la forme 4* (8» — 1) , qui n'est point

m THÉORIE DES NOMBRES.

décomposable en trois carrés. Nous conclurons de là qu'il n'est pas possible de décomposer le nombre donné 6484 en quatre octogones seulement, au moins tant qu'on prend b supérieur à la limite \/ (3 a — a) — i . Mais il peut arriver qu'en prenant des valeurs de b inférieures à cette limite , on trouve des solutions admissibles.

En effet , les valeurs de b qui répondent àr = o, étant 94 , 88 et 8a, celle qui suit immédiatement est £=76; cette valeur donne a — 2a 1 a , et a — ^ b* = 768 = 4 4 • 3 , nombre qui est décomposable en trois carrés. On trouve ensuite , par les formules de l'art. 6a8 , que l'une des solutions est admissible, puisqu'elle donne £ = 43, t — u = v= 1 1 ; donc le nombre proposé 6484 est égal à. la somme des quatre octogones dont les cotés sont 43 , 1 1 , 1 1 , 1 1.

On remarquera que le nombre 6484 > a8mJ a été choisi de manière qu'il ne soit pas compris dans le théorème IX , et cependant il se trouve décomposable en quatre octogones seulement.

S III. De l'équation xJ + yJ + z3 = o.

(653) Nous supposerons qu'il existe trois nombres entiers x, y, z, positifs ou négatifs , qui satisfont à l'équation x* +y -h z1 = o, avec la condition que ces trois nombres soient premiers entre eux, deux étant impairs et le troisième pair ; nous verrons quelles conséquences résultent de cette supposition. Notre démonstration sera divisée en trois parties.

lre. L'un des nombres x , y , z , doit être divisible par 3.

En effet, tout nombre non-divisible par 3, positif ou négatif, est de la forme 3 m ± i , et son cube 37 m* db 27 m* -+• 9 m =fc 1 est de la forme Qndz 1. Si donc aucun des nombres x,yt z, n'était divisible par 3 , la somme de leurs cubes x3 -{-y3 + zi devrait être de l'une des quatre formes 9/1 =fc 1 , Qnzb3, et ne pourrait par conséquent se réduire à zéro. Donc l'un des nombres x, y, z, est nécessairement divisible par 3.

II*. Celle des indéterminées qui est paire, est en même temps

divisible par 3.

Désignons par z l'indéterminée divisible par a , et soit z = — a* m, « étant un nombre impair, de sorte qu'on ait l'équation

je dis que u devra être divisible par 3.

En effet supposons, s'il est possible, que u ne soit pas divisible par 3; le premier membre x> +f est le produit de deux facteurs x +y et (x +y)'— 3xy qui ne peuvent avoir que 3 pour commun

diviseur; et puisque 3 ne divise pas le second membre a1" m1, il s'ensuit que ees deux facteurs sont premiers entre eux. Leur produit doit être un cube, il faut donc que chacun d'eux soit un cube; si l'on observe d'ailleurs que x' — xy-\-y* est toujours un nombre impair, on en conclura que aJ" doit être facteur de x +y; ainsi on devra faire

x1 — xy =

ce qui suppose « = ê étant positif et premier à «.

Maintenant si l'on met la seconde équation sous cette forme

on voit que le second membre étant de la forme px + 3^'; son diviseur 6, qui est un nombre impair, devra être de la même forme. Faisant donc ê=/' + 3g', ensuite (f+gV— 3),= F+Gl/— 3, ce qui donne

on aura ^ = ¥' + 30*; de sorte qu'on satisfera généralement à l'équation précédente en faisant

ce qui donnera

Or z étant supposé non-divisible par 3 , il faudra que l'un des nombres x, y, soit divisible, ce qui exige que/soit aussi divisible par 3. Mais alors les deux nombres x et y seraient divisibles par 3 , ainsi que le troisième z, ce qui est contre la supposition.

Donc l'indéterminée z divisible par a doit l'être aussi par 3, et on doit faire en général z = — 2m3mu,ii étant premier au nom-

bre 6; de sorte que l'équation proposée sera toujours de la forme .r1 = 3" m».

IIIe. L'équation x, + y, = a,"3,"ul est impossible.

Car supposons pour un moment qu'elle puisse être satisfaite, sans que l'une des indéterminées soit zéro, les deux facteurs du premier membre, savoir x +y et x1 — xy-\-y* ,ovi\. pour commun diviseur 3 et non une puissance plus élevée de 3 , puisque 3 ne peut pas diviser xy; d'ailleurs le second facteur est impair; ainsi l'équation dont il s'agit se partagera nécessairement en deux autres comme il suit :

x+y^o^V*- V x*—xy + y = $P,

et on aura en même temps a = aê.

La seconde de ces équations peut être mise sous la forme :

d'où il suit que 6 est encore de la forme p* + 3q*. Faisant donc comme ci-dessus 6==/"' -t- $g* et 6*= F* 4- 3 G', on aura l'équation

QL=Zy+ -}(î±Zy=Y' + 3G', a laquelle on satisfait généralement en prenant ^£=F, ^tI=G. Cette dernière donne, en faisant les substitutions,

Dans cette équation où /' — g* est impair, puisque/* + 3 g' l'est, il faut que g- soit divisible par a1"-' ; soit donc g= a1""' A, /■+•£= B, f — g= C , on aura ( 3'"1 a)'=AB C. Maintenant puisque le produit ABC est un cube et que les facteurs A, B, C sont premiers entre eux , il faut que chacun de ces facteurs soit un cube; ainsi on devra faire A=Xî,B==(aî, C=v3, ce qui donnera f + g=p\f — g=*\ g= a1— *V, et en même temps Xjtv = 3— « On tire de là l'équation

36o THÉORIE DES NOMBRES.

p1 — S=2g= a'-X1, semblable à la proposée, où il faut observer que l'un des trois nombres X , p , v , doit contenir le facteur 3— '.Or, d'après ce qui a été démontré dans la seconde partie, le terme 2"\ déjà divisible par a, est nécessairement aussi divisible par 3; donc il faut faire X = 3",ô, ce qui donnera

Ainsi de l'équation x*+ J5= (2" 3' uf , où l'une des indéterminées est divisible par 3", on déduit une équation semblable où l'indéterminée correspondante est divisible par 3"". Continuant donc ces transformations autant de fois qu'il y a d'unités dans n, on parviendra à une dernière transformée ,vi+y'i = z'i dans laquelle aucun des nombres x' ,y\ z ne serait divisible par 3. Cette équation est impossible en vertu de la première partie ; donc l'équation proposée x3 +y* + zl=o est pareillement impossible.

§ IV. De l'équation x* + ys z1 = o.

(654) Il est facile de prouver que l'une des indéterminées doit être divisible par 5, et même par a5; soit x cette indéterminée, on en conclura que l'équation y + zs= — xi se partage nécessairement en deux autres de cette manière :

y+z=5it\ y'—y^z+yz'—yz'+z^Sr*, (a)

ce qui suppose a= — 5tr, r étant un nombre impair, positif et premier à 5*.

Cela posé, il y a deux cas à distinguer selon que x sera pair ou impair.

Premier cas , où l'on suppose x pair.

(655) Alors t est pair, y et z sont impairs et la seconde des équations (a) pourra se mettre sous la forme

5 (£±il)B - (r'+Y"*"7 = 5 ri-

Divisant par 5 et mettant au lieu de y* + ayz ■+■ z* sa valeur 5' t", on aura

çzL±£.y 5 ^i£iy = r>.

Dans notre hypothèse, les nombres K/' + z') et \.51t" sont des entiers; d'ailleurs puisque le premier membre est de la forme p' — 5 q* , son diviseur r devra être de la même forme , de sorte qu'on pourra supposer r =/> — , puis faisant (/+^l/5)'=F+Gl/5, II. 46

36a THÉORIE DES NOMBRES,

ce qui donne

F=/(/' + 5o/V+ia5^), on aura r5=F* — 5 G', et par conséquent

Pour avoir une solution générale de cette équation, il faut prendre deux nombres m et n, tels qu'on ait (9 ±4 1^5)* = m + «1/5, Aétant 1111 entier quelconque, ces nombres satisferont en général à l'équation m* — 5n'= 1 , et on pourra supposer

rl±£ + ^ilV5=(F+ Gl^5)(m + «1/5), ce qui donnera

;(j- + z') = «iF + 5«G1 i.5'r=mG + »F.

(656) Ces formules contiennent une infinité de solutions, puisqu'on peut prendre pour k un entier quelconque; mais ces solutions en nombre infini , ne sont susceptibles que de cinq formes différentes.

En effet, quel que soit l'exposant *, il sera toujours de l'une des cinq formes 5*, 5t ± 1 , 5rrfca. Mais j'observe que la partie indéterminée 5t peut être supprimée comme étant comprise dans l'expression de r\ Car on peut faire (/+gV5) (9 ±4l/5>=/'+^V5, et on aura de nouveau r —f> — r)g'' , de sorte qu'il suffira de mettre f et g' à la place de/et g dans les valeurs de F et G. Il ne reste donc à considérer que les cinq valeurs #=o, ± 1 , dr 2, auxquelles répondent les valeurs de m et n, comme il suit :

(657) Nows observerons encore que titans l'équation

; '-. 5? ï = m G 4- n F , où G est toujours divisible par 5 , le terme n F

ne peut être divisible par 5 qu'autant que n le sera : car r étant premier à St, et sa valeur étant /*— 5^', /ne peut être divisible par 5, ni par conséquent F. Donc des cinq valeurs de n on ne peut admettre que la valeur n=o qui répond à m-i , ce qui donnera fjour seule solution admissible

■:-.S»l"=sG=5*C/4+io/Y+5tf4)f ou î.5tt"=g(fi+ to/'g' + 5g*).

Dans cette équation, les deux facteurs du second membre sont premiers entre eux, et il faut supposer g pair; car si g était impair, y* devrait être pair, et le second membre de notre équation serait impair, tandis que le premier est divisible par a', puisque t est pair. On en conclura que l'équation précédente ne peut se partager en deux autres que de la manière suivante qui suppose f=a«r',

f'+ io/V + 5^4=r''\

Dans la seconde équation , le premier membre peut se mettre sous la forme (f' + Sg'Y — 5 (a g*)*; donc son diviseur r' doit être de la forme p1 — 5 q' ; il en est de même de r* , et on pourra par conséquent faire r''=/''— 5g'% ce qui donnera r'"= F''— 5G\ F et G' étant des fonctions semblables à F et G ; on aura donc l'équation

(/'+ 5*')'— 5(2ér>)'=F"-5G\

dans laquelle ag-'= 5". a'» m", et on trouvera comme ci-dessus que la seule solution admissible est

5'\*>ur=g'(f'i+ io/V + V)-

Faisant encore u = u r'\ r" étant premier à io u' , cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière

s•'=5,,.a,»M'»•, fi+iof'g" + 5gf*={r"r.

(658) Nous retombons ainsi sur des équations qui sont toujours de même forme et dont la série peut se continuer à l'infini.

Or ayant fait successivement x= — 5tr, t—nur'yu — ur", f/' = a"r'",etc, il s'ensuit que f = a«r'== auVr"== aa'Vr'V'', etc. ; de sorte que le nombre des facteurs r augmente continuellement dans l'expression de t. Chacun de ces facteurs déterminé par une équation de la forme r"'m=f* ■+■ iof'g*+ 5g*, où f et g sont des nombres toujours croissans, puisqu'on a g'= j(2g*)' %f* > 5g'', est certainement plus grand que 1 , et ne peut comme nombre en» tier, être moindre que 2. Donc en supposant même que la suite u, u , u", etc. , eût pour limite 1 , la valeur de t composée d'un nombre indéfini de facteurs 2, r, r", r'", etc. , qui ne peuvent être moindres que 2 , surpassera bientôt toute quantité donnée , ce qui ne peut s'accorder avec la supposition faite que les valeurs primitives de x, y, z, sont données en nombres finis. Donc l'équation proposée est impossible, dans le premier cas où l'on suppose que l'une des indéterminées est divisible à la fois par 2 et par 5.

Second cas, où l'on suppose x impair.

(65g) Alors les deux indéterminées y et z seront l'une paire, l'autre impaire , et la seconde des équations (a) pourra se mettre sous la forme

{y • — hy z + *■)' — 5 ( irzy = 5 r 1 ,

où l'on voit que \yz sera toujours un nombre entier , et que . . y* — '-yz -+- z' doit être divisible par 5; en effet on &y* — \yz -t- z* ~{y + z)' — 5(îy*) = 5*t" — 5 (î/z). L'équation précédente peut donc s'écrire ainsi :

ar*)--5f~T+")'=-r .,

et puisque le nombre impair r est diviseur d'un nombre de la forme p' — 5q',oupetq sont premiers entre eux, il sera lui-même de cette forme ; il en est de même de — r; car on sait que tout nombre

de la forme p* — 5$r' est en même temps de la forme 5«* — b*\ nous pouvons donc supposer — r=f* — 5g* , et faisant comme ci-dessus (/+ #l/5)s = F + G 1/5 , nous aurons — r s = F* — 5 G' , et l'équation à résoudre sera

(|jr»)'-.5(r'--f + ,,)'=:F'-5G'.

Supposant de nouveau m -+• «1/5 = (9 ± 41/ 5)' , la résolution générale de cette équation s'obtiendra en faisant

|7S+^-^z+tV5=(F+Gl/5)(m-hnl/5j> ce qui donne

7jz = mF+ 5/iG, Ky — vp + z')=mG + nF.

On tire de ces deux équations T (j -+- z)' = (m + n) F+ (ro + 5 /i) G , ou

(660) Puisque G est toujours divisible par 5 et que F ne l'est pas, cette équation ne peut subsister à moins que m + n ne soit divisible par 5. Or d'après les cinq valeurs de m et n rapportées ci-dessus , on trouve que cette condition ne peut être remplie qu'en supposant ^=9, n— — 4> ce qui donnera

ou en divisant par 5 et substituant les valeurs de F et de G,

On voit par cette équation que/— -g doit être divisible par 5; soit donc /= g + h, h étant un nombre divisible par 5, et on aura f+g\/o=à +1/5), de sorte qu'on pourra faire directement

F+Gt/5 = [A+^(i+l/5)]s

=h* + 5h*g(i + 1/5) -+• ao/<V(3 -+- 1/5)

8o h'g>(* + 1/5) + 4o àg* (7 + 31/ 5) + 16^(11 +5V/5).

On déduit de là les valeurs séparées de F et G, mais comme nous n'avons besoin que de la quantité F — -V"^*» nous pourrons, dans cette équation , mettre — ^ à la place de 1/5 , ce qui donnera

F— V-G=A(A*-6/*J£+ i6A'^— i6hg>+ i6g*)y

et par conséquent

56f •=/*(/**— 6A3#-h i6A'g>'— îôA^-*- 16^).

(661) Sachant déjà que A est divisible par 5 et que g ne l'est pas, observant de plus que h doit être impair , et qu'ainsi les deux facteurs du second membre sont premiers entre eux , la seule manière de satisfaire à cette équation est de la partager en deux autres , comme il suit :

h*—6hig+i6htg'—.i6hg>+ i6^=r'",

ce qui suppose t = «*r' , r' étant premier à 5/*. La seconde équation peut se mettre sous la forme

r'"=(h* — 3gh + 6#')' — 5 (g h — a#*)\

d'où l'on voit que r' doit être de la forme p% — 5y'; il en est de même de r'1 ; on pourra donc faire r'^f' — 5 g' \ ce qui donnera rf,.p, — 5G'*, et on satisfera généralement à l'équation précédente en faisant

h* — 3gh + 6^=mF+ 5/iG\ gh — 2g' = n¥'+- m G',

ce qui donne enfin A' ou

Puisque G' est divisible par 5 et que F ne l'est pas, cette équation ne. peut subsister à moins que m + 3« ne soit divisible par 5. Les seules valeurs de m et n à prendre pour cela sont m = 1 6 1 , n= — 7a, ce qui donnera , en divisant par 5 ,

5"W"=-ii»G' 11 F,

ou en substituant les valeurs de F et G' ,