QUATRIÈME PARTIE. 3g

X'~ «p'Z* est divisible par pm, il faut que l'un des facteur* X— 9Z, X -H 9Z, soit divisible par //; et comme on peut prendre à volonté le signe de 9, on pourra représenter par X — 9Z celui des deux facteurs qui est divisible par p"; il le sera eu même temps par

parce que 9 est impair; donc la quantité Y= 1 * sera toujours

un nombre entier , ou plutôt sera une fonction entière des indéterminées y et z. Donc la formule //Y' + 9 YZ 4- 9Z' représentera en général la puissance /t de la formule proposée py* +-qyz + rz'.

Remarque. Si l'on veut simplement savoir à quelle forme des diviseurs quadratiques appartient la puissance n d'un diviseur quadratique donné A, l'opération se réduit à déterminer les coefficients 9 et |, comme on l'a expliqué dans les deux cas; ensuite on ramènera à l'expression la plus simple la formule p'y* -+- a^yz + 9 s*, ou la formule p'y3 + <çy z 9 s»-(si a est de la forme 8 n + 3) , qui contient la puissance désignée.

Il est facile maintenant d'évaluer dans les produits des quantités A^I^C, etc. (n° 366) les termes qui contiennent des puissances de ces quantités.

Exemple I.

(369) Soit la formule f1 -f- 4» dont Jes cinq diviseurs quadratiques sont :

A=j' xyz + 4as* D = 3 y' + zyz + 1/, e

B=:&yt+ iyz + aïs* E = 6y + zyt + yz\ C = 5y* + 6yz+ 10 z'

Si on multiplie entre eux deux diviseurs, tels que C et D (en distinguant par des accents les indéterminées de l'un des deux), on trouvera (n* 358) que le produit CD, réduit à l'expression la plus simple, est à-ïa-fois de la forme D et de la forme E. On trouvera semblablemcnt les autres résultats suivants qui renferment les formes des produits de deux diviseurs semblables ou dissemblables , dans toutes les combinaisons possibles : on y a joint les carrés de ces

4o THÉORIE DES NOMBRES.

mêmes diviseurs trouvés par les formules du n° 363, ou par celles du n* S67 :