QUATRIÈME PARTIE

de z, ou par une de^ et de *; quant à Y, on a Y=^— or

X'— 9,Z,=X1-»- rtZ*~ /7'<j»Z'=/;'(A"— 9Z1), donc il faut que.. X': — 9» Z' soit divisible par/?". Mais on voit par 1 équation ffty — y*=a que 9 ne peut être divisible par p , puisqu'alors a serait divisible aussi par p , contre la supposition. On ne peut supposer non plus que Z soit divisible indéfiniment par p, car alors X serait aussi divisible par/7, ainsi que x' + ax'; donc en omettant les multiples de/7, on aurait az* = — x* , valeur qui étant substituée dans celle de X, donne

+ +etc.)=a-^;

donc il faudrait que/; divisât x, et par suite z , ce qui ne peut avoir lieu, puisque^ et z sont des indéterminées à volonté.

Puisque la quantité X*— ^'Z* est divisible par jf, et que ses deux facteurs X -f- 9Z, X — çZ, ne peuvent avoir p pour commun diviseur , il s'ensuit que l'un de ces facteurs est divisible par /A Et comme le signe de «p est arbitraire , on pourra supposer que X — 9 Z représente celui des deux facteurs qui est divisible par pr. Donc la valeur de Y développée en fonction de x et z, sera un nombre entier, quels que soient y et z. Donc le diviseur quadratique /?" Y' ■+■ 29YZ + 9Z' ainsi déterminé, sera égal à la puissance n du diviseur proposé py* + zqyz+ rz\

(368) Second cas. Soit la formule donnée \=py* -\-qyz + rz* , où l'on suppose/;, q , r impairs et [\pr — q' = a.

On préparera encore , s'il est nécessaire , cette formule de manière que le coefficient p soit un nombre premier, et on démontrerait d'ailleurs , comme ci-dessus, qu'il n'y a qu'un seul diviseur quadratique qui puisse contenir la puissance demandée A".

Représentons ce diviseur par la formule p'Y' + <fYZ + 9Z', il faudra qu'on ait bp" 9 = 9' + a. Or comme on a déjà 4pr=q' -h a, si l'on fait (i.ry + -;i/— a)'=iF + i-Gl/— «, les nombres F et G seront toujours entiers (n9 57), parce que a étant de la forme

8/i-»- 3, —a est de la forme 4« + « : on aura même temps

(t</ — -M— «)"=tF- 7Gl/- a, et par conséquent (^-j^f

ou p*r" = j(F* -h «G'). Or on prouverait, eomme ci-dessus, que F et G sont premiers entre eux , ou qu'ils ont seulement a pour commun diviseur; donc on pourra faire F =9 G -4- 2/?" H , c'est-à-dire qu'on pourra toujours déterminer le nombre impair 9 <Cp' tel que

F soit un entier. Cette valeur de F étant substituée dans l'équation ^p"r'=F' -h aG\ on en conclura que?-^-- doit être un entier; et comme 9' -4- a est de la forme Sn -+-4» on aura en même ©' -4- a 1

temps égal à un entier. Soit donc 9'+ a = 4/?" 9, et il est clair

que par le moyen de 9 et 9 , on aura entièrement déterminé le diviseur quadratique qui contient p\ lequel sera /?'Y'-t- 9 YZ + yZ'.

Maintenant , je dis que ce diviseur contient en général A*, en sorte qu'on peut supposer ^"Y'-+-9 YZ -f ^Z'= \'=(py + -i- rz')m; c'est ce qui sera évident , si de cette équation on peut tirer des valeurs entières de Y et Z , quelles que soient les indéterminées y et z de la formule proposée.

Or de l'équation précédente on tire

Soit pour un moment 2/?"Y+çZ=X, 2^j+^z=^, on aura l'équation X* -4- a Z'= 4 (j-r* 4- jus')' à laquelle on satisfait généralement en prenant

et on sait que les nombres X et Z tirés de celle-ci seront toujours entiers; il reste donc à démontrer que Y est aussi un entier. Or on a a/?*Y = X — 9Zet X'+rtZ' = 4 A"/>'; substituant dans In seconde, au lieu de «, sa valeur f\p" 9 — 9', on aura X' — 9,Z'=4/>"(A',~ + On prouvera d'ailleurs, comme ci-dessus, que les facteurs X — 9Z, X 4- 9Z n'ont point de commun diviseur autre que a ; donc puisque