QUATRIÈME PARTIE. 5g

dans une quantité quelconque x, en sorte que x — E(x) soit toujours une fraction positive plus petite que l'unité.

Si on considère les divers multiples, k, aA . . . ^ ■ 1 k, d'où naissent les restes a\ b\ etc. , et qu'on désigne particulièrement par A k le multiple qui donne le reste a, et par B k celui qui donne le reste b,

on aura^-E(y)<f et^— E(^)>i;d'où résulte

E(^)aE(^) = o,

Ajoutant ensemble toutes les équations qui auront lieu semblablcment pour toutes les valeurs de A et B, depuis i jusqu'à ±(p — i), il est clair que le second membre sera composé d'autant d'unités qu'il y a de nombres B; et ce nombre d'unités ayant déjà été désigné par (i , on aura donc

->EG)-*E(7)-°E(y) -"(^ -

D'ailleurs , comme on n'a besoin de la valeur de p que pour savoir si elle est paire ou impaire, on peut dans la formule précédente omettre les termes divisibles par a , ce qui donnera simplement

^(VVCVVCt) +K(k=a-VE(fc=iîi).

(388) Cette expression est susceptible de réduction; d'abord si l'on fait A=mf +«,« étant positif et <^,on aura (£-^-^k=k— m — J =k—m — i -4-£=?; donc E ((p~l)*^=k - m—i~k— x — E(^) ;

pareillementonaura E ((/>~3)*) =k— i— E(y) , ainsi des autres.

Il faut substituer ces valeurs dans la formule, et pour cela distinguer deux cas , selon que p est de la forme 4 n -f- i ou 4 « ■+■ 3.

6o THÉORIE DES NOMBRES.

Soît i°p=^n -+- i , le nombre des termes > E C^")1 elC'

sera =a/i. I^es n premiers forment la suite

HjhO +E(^>

Les n autres, écrits dans l'ordre inverse, forment la snite

E (teza*) + E(fe=5*) + e pa±4*) ,

lesquels, suivant la transformation précédente, deviennent

Donc on aura

„- i (P- .)(* .) + E(y) + E(£) + E (Ifi

Ajoutant au second membre, le nombre pair

aEG)+aE(y) +»E(^).

oe qui est permis pour notre objet , on aura plus simplement ,=i(/,0(*0+EQ+E(^)+E(H). . . + B(2ii).

a» Si l'on a ^=4^+3, il y aura 2/1+ 1 termes dans la valeur de ^; les

«premiers seront toujours E(^)+E(^)+E(^). . .+E(^); les (n -h 1) autres seront

et par la transformation indiquée ils deviennent