QUATRIÈME PARTIE
de sorte qu'on aura
-E(^)-E(^)...-E(^)-E(^), ou en ajoutant le nombre pair a + 2 E (^~) + etc- »
(389) Comme { (p — 1) dans le premier cas , et \ (p 4- 1) dans le second, sont des nombres entiers; lorsque k sera impair, les deux f ormules se réduiront généralement à une seule, savoir :
, = E$ + E(^)+E(37*).... +E(i<*=iîi).
(390) Lorsque k est pair , les deux formules peuvent aussi se réduire à une seule, savoir:
,=^±1)(*-.)-l-E(|)+E(^)+E(y)...+E(K^iI'),
pourvu qu'on détermine le signe ambigu de manière que -y (pdt 1) soit un entier, et alors on peut même réduire j{p"àz i) (A- — 1) à * ?(p± i) ; car il n'est toujours question que de savoir si p est pair ou impair.
(391) Soit, par exemple, *=a, alors tous les termes B(^)> E Ç - . .E sont nuls, et on a simplement fi=\(p ± 1).
Donc si p=Sn + 1 ou 8n + 7, le nombre («sera pair, et on aura
Si , au contraire , /> = 8n + 3 ou 8 /t + 5, le nombre p. sera impair,
et on aura (jQ = — 1.
On parvient ainsi très-simplement aux théorèmes connus contenant la relation de a à tous les autres nombres premiers (n4 1 5o) ,
6a THÉORIE DES NOMBRES.
théorèmes qui étaient regardés comme difficiles à démontrer, lorsque la science des nombres était moins avancée.
(39a) Soient maintenant k et p deux nombres premiers impairs quelconques; ayant déjà fait ( - ) = ( — 1 )^ , faisons semblablement ^) = ( — i)v; nous aurons, suivant la formule du n* 389,
Supposons A </> , et faisons -= a;, p=z%p'+ 1 , X =aA'+ 1 , ce qui donne
H-f-v = E(x) + E(aa:) + E(3a:) + E(p'x)
rK(!) + E(!) + E(ï)..... + Bg),
je dis que le second membre se réduit à En effet, considérons d'abord la suite
et observons que les termes de cette suite croissent par degrés, depuis zéro, qui est la valeur de E(x), puisque.r< 1, jusqu'à k\ qui est
la valeur dcE{p'x); car on a p' x=Py = k'+£yï = k'+^ '■;
donc E(// x)=^k'. Il faut maintenant examiner combien dans cette suite il y a de termes égaux à 1 , combien d'égaux à 2 , et ainsi de suite.
Pour cela prenons des indéterminées m,, m,, m,. . .m*, telles qu'on ait
m , x = 1 , m, x == a , m, x = 3 , mx x = 4 mk>x=k'.
Aucun des nombres m, , m, , etc. ne pourra être entier, puisque leur expression générale = ! = s étant Soit donc
QUATRIÈME PARTIE. B3 E (m«) ss Mx , en sorte que m, tombe entre les entiers consécutifs M„ M« + i ; il suit évidemment de ces suppositions,
i* Que les premiers termes E(ar), E(a«), . . . jusqu'à E(M,x) sont zéro; leur nombre =M,. I
a* Que les termes suivants E (M, -+- i x) , E (M, »,»)>. »; . jusqu'à E(M, x) inclusivement , ont pour valeur i ; leur nombre =M,7— M,.
3" Que les termes suivants E(M, -+• i x) -+• E(M,-i-aJ:),. . . jusqu'à E (M,*) inclusivement , ont pour valeur a ; leur nombre = Mj — M,.
Et ainsi de suite jusqu'aux derniers termes dont la valeur' est k' et dont le nombre =p' — M*. ■ i . '
Donc en réunissant tous les termes qui composent Z, on aura
Z=oxM1+,(M,-M,)
+ 3(M4-MJ) !; ,
. .' t . r ■■>•.«, ■ . i i ..VI» »!. I
('A"' — i) (Mai — Ma>— i)
ou en réduisant,
Mais en général M,=E(/wf)=E Ç^j ; donc
Substituant cette valeur dans celle de |i + v , on en tire cette formule très-simple p -»- v =p' h' , ou
(3g3) De cette formule se déduit immédiatement le théorème contenant la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques p et k. Si l'undes nombres pet Jr, oujous les deux,
64 THÉOUIE DES NOMBRES.
santctala forme 4* 1 r la quantité } — i) (k — i) sera un nombre pair} ainsi les. demi nombres pt etv seront tous deux pairs on
tous deux impairs, ce qui donnera (fy— (y)'
Si les deux nombres premiers p et £ sont tous deux de la forme 4«<-k3, la quarttïté \{p — i) (k — i) sera un nombreimpair; donc (a et v devront toujours être Ftm pair et l'autre impair, ce qui don-
D'ailleurs la formule générale qui satisfait à tous les cas, se déduit des expressions ^^=(— i)**,. — i)v, qat donnent
$=($)(- .)*"••'=(- 0^-^(5), comme au „• ,66.
Ainsi se trouve démontré généralement un théorème qu'on peut regarder comme le plus important de la théorie des nombres, et qui a offert de grandes difficultés à presque tous ceux qui ont entrepris de le démontrer par d'autres voies.
La démonstration que nous venons d'en donner, d'après Fréd. Gauss, est d'autwntplu* remarquable qu'elle repose sur les principes les plus élémentaires ; mais nous aurons occasion dans la section cinquième d'en donner une beaucoup plus simple d»n* l'auteur eat M. Jacobi de Kônigsberg, connu par ses belles découvertes dans la Théorie des fonctions elliptiques.
