QUATRIÈME PARTIE. i

la question générale qui suppose que le cavalier parte d'une case donnée quelconque.

(47O) Pour y satisfaire il faut trouver moyen de changer le circuit non rentrant qu'offre le tableau IV en un circuit rentrant.

Dans 1 état actuel du tableau IV, les cases extrêmes 1 et 64 sont trop éloignées pour qu'on puisse par une seule opération obtenir un circuit rentrant; on peut seulement rapprocher les cases extrêmes en substituant au circuit du tableau le circuit suivant :

Pour représenter celui-ci il faudra dans le IVe tableau ne rien changer aux nombres de 64 à 28 , mais seulement prendre le complément à 28 de tous les nombres de 1 à 27, ce qui produira le tableau suivant :

22 . a5 . 5o . 39 . 5a . 35 . 60 . 57 27 . 4o . a3 . 36 . 49 • 58 . 53 . 34 24.21 .a6.5i .38. 61 .56.59 4i. 28.37. 48. 11.54.33.62 (V) 20.47.42. 1 .32.63. to. 55 29. 16. 19.46.43. 12.7.4 18.45. i4-3i . 2 . 5 .64. 9 1 5 . 3o . 1 7 . 44 • 1 3 • 8 . 3.6

Maintenant les cases voisines des extrêmes 1 et 64 sont, comme il suit :

1 j 26,38, 54, ia, 2, i4, 16, 28 64 j 13,43,63,55.

Et parce que le nombre i4 de la première ligne surpasse d'une unité le nombre i3 de la seconde, on pourra former un circuit rentrant avec les deux suites

et le nouveau tableau qui contient ce circuit se déduira du précé-

i56 THÉORIE DES NOMBRES,

dent , en prenant au lieu de chacun des nombres i , a . . . 1 3 son complément à i4- Voici le sixième tableau.

aa.i5.5o.3g.5a .35. 60. 57 17 . 40 . a3 . 36 . 4g . 58 . 53 . 34 i4-ii ,a6.5i .38.Gi .56.5g 4i. 18.37. 48. 3 54.33.6a ( VI ) ao . 47 . 4a . 1 3 . 3a . 63 . 4 ■ 55 39. 16. ig. 46. 43. a . 7 .10 i8.45. i4-3i . ia. g .64. 5 i5.3o. 17.44 • 1 . 6 . 1 1 . 8

Nous avons dit qu'une marche rentrante telle que nous venons de l'obtenir dans ce dernier tableau, permet de faire parcourir au cavalier toutes les cases de l'échiquier, à partir d'une case donnée quelconque, et cela de deux manières différentes.

En effet, si on veut partir de la case 38 , par exemple, on pourra choisir entre les deux marches suivantes, inverses l'une de l'autre

Ainsi le problème est résolu dans toute sa généralité par le tableau (V I). Mais nous allons faire voir qu'une seule solution connue en fait connaître immédiatement un gratid nombre d'autres. Donnons avant tout un second exemple de la manière de rendre rentrant un circuit qui ne l'est pas.

(477) Nous nous proposerons à cet effet le tableau suivant :

54 4i • n-15.60.j7. i4-a3 1 1 . 16 . 55 . 4o . 1 3 . 14 • 4g • 58 4a. 53. 10.61 . 56.5g. aa. 1 5

g .6a. 37. 5a. 3g. 48. 3i .5o a8.43. 8 .47.3o.5i . 16. ai 63. 46. ag. 38. 5.ao.35.3a 44- 7 • a .19.34.37. 4 «7

QUATRIÈME PARTIE. if>7 A raison des cases voisines des deux extrêmes i et 64, savoir :

on pourrait changer la marche du tableau en trois autres , savoir :

Mais ces trois combinaisons présentent peu d'avantage, parce que les cases 1 et 64 ne permettent le passage qua deux et trois autres cases. Après quelques tentatives on trouve que le circuit suivant, composé de trois parties

est préférable, parce que les cases extrêmes 3o et 47 venant au milieu du tableau , il y a plus de chances d'arriver par elles à un circuit rentrant.

Pour représenter cette nouvelle marche, il faut, dans le tableau proposé, ôter 29 des nombres de 3o à 46 , ajouter 1 7 aux nombres de la seconde suite , 1 . 2 . . . 29 , et retrancher de 1 1 1 tous les termes de la troisième suite 64. 63... 47- On obtiendra ainsi le tableau suivant :

57. 1a.a9.43.5r .54.3i .40 a8.43.56.n.3o.4i.6a.53 1 3 . 58 . 37 . 5o . 55 . 5a . 3g . 3a a6. 49-44-59- 10. 63. a .61 45. i4.a5.64. 1 .60. 33. 38 48.17.46.9.33.37.6.3 i5.a4. 19.36 .5.8 .ai. 34 18. 47' i6.a3.ao.35. 4 • 7

Dans cette marche les cases extrêmes 1 , 64, permettent de passer de chacune à huit autres cases, comme on le voit ici :

i58 THÉORIE DES NOMBRES.

Maintenant si a étant un nombre de la première série, on trouve a — 1 parmi les termes b de la seconde série, on pourra former une marche rentrante de ces deux parties

Or c'est ce qui arrive en faisant a = G et « = 5o, puisque 5 et 4y se trouvent parmi les nombres b. On obtient donc les deux marches rentrantes que voici :

Il en résulte les deux tableaux suivants :