QUATRIÈME PARTIE
Ainsi toute marche rentrante, comme celle qui est représentée par le tableau (M) , en fournit trois autres représentées par les tableaux (Mi), (M 2) , (M 3) ; et puisque chaque tableau donne deux solutions du problème, les quatre tableaux en donneront huit. Nous avons formé d'ailleurs deux autres tableaux (VI) et (N) semblables au tableau (M) ; ainsi nous connaissons déjà a/f solutions du problème général, et il serait facile d'en trouver un beaucoup plus grand nombre.
(4#o) En effet, prenons encore pour exemple le tableau (M), et supposons que de la case A on puisse passer aux cases a, b ,c, etc., et que de la ease A 4- I on puisse passer aux cases n' , b' , c' , etr. , c e que nous exprimons ainsi :
Si parmi les nombres d,b't c', etc., il se trouve le nombre a -f- i , on pourra de la marche rentrante donnée par le tableau , déduire une autre marche pareillement rentrante, savoir:
«, a — i,£/. — 2...A+1 | a+i,rt + a...A;
Il faut seulement excepter le cas de a = A -+- i , et celui de A=<h i qui ne donnent aucun résultat.
C'est ainsi qu'on peut déduire du tableau M les onze marches rentrantes qui suivent :
24. 23... 1.64. 63... 54 | 25. 26... 53 33. 32... j. 64. 63... 55 | 34-35... 54 1 o . 9 ... 1 . 64 . 63 ... 60 | 11 . 1 2 ... 59 45.44..- 1.64.63 | 46. 47... 62 !L ai
16a THÉORIE DES NOMBRES.
Le premier circuit se tracera d'après le tableau (M), en retranchant de 68 tous les nombres de 10 à 58, et laissant les autres nombres tels qu'ils sont, on formera ainsi le nouveau tableau
6 .43. ri.35. 40.37. 24 17 1 1 .34.29. 44. g .48.53.46 3o. 5 . 10.49.54.45. 18. a3 33. a .3i.58.6i.aa.55.5a 4 .59. 64- ai .5o.57.6a. 19 1 .3a. 3 .Go.63.ao.5i .56
Si l'on forme de même les 10 autres tableaux qui résultent des circuits indiqués, on aura douze tableaux principaux qui sont susceptibles chacun de quatre formes, ce qui fera en tout 48 tableaux donnant chacun deux solutions du problème général.
(48 1) Pour déduire du circuit représenté par le tableau (M) onze autres circuits semblables, nous n'avons eu besoin que de partager le premier circuit en deux parties qui s'ajustent convenablement; mais on pourrait partager le même circuit en trois ou en plus grand nombre de parties, de manière à faire toujours un circuit rentrant , ce qui donnerait de nouvelles solutions , en nombre presque indéfini.
Supposons, par exemple, que passant de la rase a à la case b, et de la case a + 1 à la case c , on puisse passer en même temps de la case h- - \ à la case c + 1 , ce que nous exprimerons ainsi :
a j by a+ 1 j c, b — 1 | c + 1 ,
on aura cette nouvelle marche rentrante composée de trois parties
elle suppose seulement £>aH-aetc>£.
Un exemple tiré du tableau (M) donnera cette marche toujours rentrante
54 • 55 . . . 64 • 1 • a ■ • • 1 9 j 34 . 35 ... 53 | ao . a 1 . . . 33.
Pour former le tableau qui la représente, il faudra dans le tableau M , r laisser à leur place tous les nombres de 54 à 64 et de i à 19; a" diminuer de 1 4 tous les nombres de 34 à 53; 3* augmenter de 20 tous les nombres de 20 à 33. Voici le résultat de cette opération
46. 7 .54.a7.53.49.38.29 55. 26.47- 8 .39.a8.41 -5o 6 .45.56 53.48.5i.3o.37 57.20. 25.44. 9 .40.1S.42 24. 5 .58. I9.i4-43.36.3i 21 . 2 .a3. 10.61 .3a. 1 3. 16 4 .59. 64. 33. 18. 11. 6a. 35 1 .aa. 3 .60.63.34. 17 . 12
On trouverait, suivant les mêmes principes, beaucoup d'autirs marches rentrantes ; d'où l'on voit combien le nombre des solutions peut être multiplié, dès qu'une fois on connaît une marche rentrante.
(48a) On peut imposer des conditions particulières qui diminueront le nombre des solutions, mais il sera encore très-considérable. Supposons, par exemple, que l'on veuille renfermer les nombres 1 .2.3. . .3a, dans les quatre lignes inférieures du tableau, et les 3a autres dans les quatre lignes supérieures, on satisfera à la première condition de la manière suivante :
