AC=— AB + (A + B-D)' + C- CD + D-C — D

D'autres tentatives faites sur la comparaison des valeurs d'un produit de quatre lettres n'ont produit aucun résultat , ainsi nous n'avons, pour déterminer les six inconnues A,B,C,D,A',C', que les deux équations précédentes jointes aux deux déjà trouvées, <e qui laisse le problème fort indéterminé. Cependant nous verrons qu'en mettant sous la forme convenable les deux dernières équations, on en pourra déduire soit une solution déterminée du problème, soit deux solutions dont la différence ne se rapporte qu'à la multitude des valeurs qui peuvent être prises pour la racine primitive g, et qui n'influe pas sur les coefficients de l'équation en p.

(5a6) Il nous reste à déterminer les coefficients R et 12 de cette équation. Pour cela reprenons la valeur trouvée ci-dessus pour ppp", que nous mettrons sous la forme

p p'p' = M + Wp + M V + \\'"p" ,

où l'on suppose

M =C* + CD — D(A + B)=C' + 3CD+D' — «*D M = A'(B — C) +(A — C)(A— D) + C — BC - C M"=(A- D) (B — D) — (C — D)' M'"= C(B — C) + A(C — D) + D(D — B;.

Si on multiplie par p'" la valeur de pp'p", et qu'on applique le signe S aux deux membres, on aura S ^p pp'p") ou R=; — M + ( M ' + M" + Mw) (— /w )• Maisl'équation pp'p"=M + Wp + Wp + Wp"

donne S(pp'p")=5M — M'— M"— M'"=/iC— m'; donc

M'+ M"-h M'"=r)M — nC + m', et par conséquent

K—mn (C •+- D) — n (C' + 3 G D 4- D') — m\

Pour avoir la valeur du dernier coefficient n=pp'p"p"p" , je multiplie par p"p" la valeur de pp'p", et appliquant le signe S aux deux membres, j'ai S (pp'p"p"'p") ou

3ft =MS(//>") + M'S(/>/>">") + WS(?p"p") + M'"S(/>>>").

Substituant les valeurs connues S (/>"'/>") = — m, S (/>//"/>") = S(ppy)=nC—m%S(pyy)=S(ppp")=nD -m>, S{p"p"p") = S {pp'p") = nC — m1 , on aura

5n=— m M+ M'") (nC — W)+M'> D — m*) ,

d'où l'on déduit ii=f (n W — m4), en faisant

W=-C' + mC(aC + D) — aGJ + (A + B)' (2 C D) )