CINQUIÈME PARTIE. ao

S(pp'p '"); la première en multipliant pp par p"\ donne

S(pp' p'")=nD — m'; la seconde en multipliant pp"' par />', donne S (/>/>'/>'") = nE' — m'; le troisième en multipliant par la valeur dcp'p'" donne S(ppJp'")=:nD ' — W; donc D=E'=D. Par de semblables procédés on trouvera

S (p'p') = n A — m\ S ( = /i A' — m* S(pp") = nB — m\ S(p p'') = nC— m\

Ola posé les valeurs générales de pp' et pp' deviennent

pp' = A p \- Bp' + Cp + D/ + Cp" pp"= A> + Cp' + C'p"+ Dp"+ Dp" ;

tic sorte qu'il ne reste plus que six coefficients indéterminés A, B, C, D, A , C, entre lesquels ou a les deux équations

A B + aC+ D=m A+C+ C+aD = m.

Ensuite puisqu'on a trouvé S (pp'p")=nC — Tnie\S(pp'p"')=.nD— m*; ta somme de ces deux quantités étant la somme de tous lesproduitsdes racines p prises trois à trois, on aura

Q=/i(C + D)~aW.

(5a5) Pour trouver d'autres relations entre les coeilicients qui restent à déterminer, je mets d'abord la valeur de pp sous eette forme

pp'— — C + (A — C)p + (B— C)p'+ {D— C)p"'.

Multipliant ensuite par />"et réduisant les produits pp" \p p" ,p"' p" en valeurs linéaires, j'ai

p p'p" =r — Cp"+ (A — C) ( A> + Cpt + Cp"+ Dp" + Dp") + (B— G)(Ap' + Kp"+Cp'"+ Dp"+ Cp) + (D-C)(Ap"+Bp"'+Cp"+Dp +Cp>).

ao8 THÉORIE DES NOMBRES.

De même si on multiplie par p la valeur de p'p", on aura

pp'p"=--Cp + (A — C)(\p + Kp'+Cp"+ Dp'+ Cp") + (B— C)(A> +CP '+ C'p"+T)p"+ Dp") + (D— C)(A/>" + BP + Cp' + Dp" + Cp").

Comparant ces <leux valeurs on trouve que les coefficients de p , p"'i P'\ sont identiques et (jue les deux autres conduisent à la même équation de condition , savoir :

(A — B) A=C — C(A +aB-D+ i) + A' + BD — D\

Enfin si l'on cherche deux valeurs linéaires du produit pp'p"\ l'une en multipliant pp' par/?'", l'autre en multipliant pp" par/*', la comparaison des deux expressions conduira à une nouvelle équation de condition , savoir :