II. a

2,o THÉORIE DES NOMBRES.

Soit C + r> = a, C — D = b, A — B =y, A' — C* = z, on trouve d'abord par la première équation que les limites de « sont

1 1 faudra donc essayer successivement pour a tous les nombres entiers compris entre ces deux limites. Puis faisant 8a — (5a — a/7i)' = F, on aura l'équation ^-,4-î'=v(F — 5b'); ainsi pour chaque valeur de a, il faudra prendre b de même espèce que a et <l/yF; il faudra de plus que le nombre ~ (F — 5 b') qui est la valeur de/* 4- z' , ne contienne pour facteur aucune puissance impaire d'un nombre premier 4* — i- Ces premières conditions étant remplies, on aura une ou plusieurs manières de déterminer les valeurs de y et z, et il ne restera plus qu'à satisfaire à l'équation G =y* — zyz, dans laquelle on aG = 4C+ 5b' — (5C — m)' et C=f(« + />).

(528) Exemple I. Soit » = 4i, m=8, les limites de a seront «>a.3,a<4.4; donc les valeurs à essayer sont a = 3, a =4-

Soit d'abord a=4, on aura F=3a — 4'= »<>; 6 pair et <l/^f ; donc b = o et j1 -f- z'=8. On satisfait à cette équation en prenant j=2,s=d=2 (car on peut se dispenser de faire j= — 2, ce qui m* donnerait pas un résultat différent de celui que donne y= a). Par les valeurs a = /i = C-\- D, /; — o = C — D, on obtient C=D = 2, (» = 4 C+ >Z»' — (5C. — w)' =4 » niais alors l'équation G —y" — %yz , qui devient 4 = 4 ± 8 "'est pas satisfaite ; donc la valeur « = 4 ne peut avoir lieu.

Il reste à essayer la valeur a = 'i qui donne F = 23 , b impair et < 1/ ^ ; par conséquent b — 1 ; de là y* + z' = g , ce qui donne les deux solutions y= 3 , z=o,jy=o, z = ± 3. La seconde ne satisfait pas l'équation G=^" — a.)'z, où l'on a G = — 3a; ainsi la première devra avoir lieu. En effet les équations C + D = 3 , C — D = i , donnent C = 2, 0= 1 , G = 8 4- 5 — 4 = 9» et puisque y= 3, z=o, on a aussi y* — 2/z = o, = G.