CINQUIÈME PARTIE. an
On a donc pour seule solution les valeurs C = a,D=i,A + B —m — aC — D=3, A — B=j=3;doù A = 3, B=o; calculant d'après ces valeurs les coefficients QtR, il, I équation en p, pour le casde /i = 4i » sera
ps + p* — i6/?J + 5/)' + 'xi p — 9=0.
(029) Exemple II. Soit n = 64i , m = 128, les limites de a étant ^(64a =fc a|/64i), on devra faire successivement a — 48 , 49 ^5o» 5i , 5a , 53, 54 , 55, et pour chaque valeur de a prendre la valeur de b de même espèce que a et plus petite que V{j F). On verra ensuite si { (F — 5 b') qui est la valeur de y* -+- z* , peut se décomposer en deux carrés , ce qui exige qu'il n ait pour facteur aucun nombre premier 4* — 1 élevé à une puissance impaire. Cette condition étant remplie , il restera à voir si la condition G =y* — zyz est satisfaite. Voici un tableau qui contient le détail de toutes ces opérations.
THÉORIE DES NOMBRKS.
a,a5,i3 4,a6*,aa
ia8
i,ar>,a4 3,a6,a3 5, 37,2a -,a8,ai
i33 rr3
ai3
49=p"a y-+- 0+ ia
Sa
Va
aa
3,^7, a 4 5,a8,a3 7,29,22 9,3o,ai
aoi
io,± 9
a,a7,a:> 8,3o,aa
1 tu
io,±io
6,± a a,fc 6
1 oorpaoo 1 go i ao 4+ 56
i44 — • 9°* (solution) i6qz 96
36zc a4 4+ H
a ni .ȣ
J,an,an 5,a9,a4 7,3o,a3
ia,rfc 5 7,3:10
io,± 3 7» 0
i44rj=iao
49^1 4° K>ozp 60
— a7 — ia8
i=n ia •6Ï 8
On voit par ce tableau qu'il n'y a qu'un seul cas où l'égalité G=j" — ajz soit satisfaite; c'est celui où l'on a C=a8, D=a4, A -f- B=/w — aC — D=48, A — B= \a, A=3o, B=i8. Calculant par ces valeurs les coefficients Q, R, ft, on a l'équation cherchée pour le cas de n = 64 1 ,
pi -+- pl — a56 p* — 564 p7 + :Vto8 p — 5 1 ao = o.
Remarquons en général que plusieurs solutions peuvent conduire au hïcme résultat, parcé que les coefficients désignés par A.B, C , D dépendent de la racinë primitive g qu'on a choisie pour les former; mais tons les changements se borneront à ce qiïë la permutation ait lieu entre C et D, ce qui changera én même temps A et Ben A' et C respectivement, de sorte tjiie A — B deviendra A — C et réfiprbquemëiit. Les valeurs des coefficients Q et R në changent pas par la permutation entre C et D; quant au coelneierit il, on peut dans son expression changer simultanément Cëh" t),: D eriC, A + B en A'-i-C ou m— aD- — C, ët AB en A'C*; car les deux expressions étant égalées entre elles, on obtient l'équation conditionnelle
AB+A'C = m'-(4m + i)(C + D)+ 5C' + 7CD + 5D% que nous avons déjà trouvée (nB 5a5).
ft i
ai 4 THÉORIE DES NOMBRES.
§ III. Application de la théorie à des exemples numériques.
Exemple I. « = 7.
( 53o) T-*e plus petit nombre qui satisfait à l'équation g-5-!- 1 =011(7), «•tant £=3, il faudra former la série des puissances de 3 en rejettant les multiples de 7; eette série est 1 ,3, 1 , 6, 4 1 5; ainsi les puissances de r qui forment les six raeines de l'équation X = o ou r6+ j'-t-.r'-t- .v,+ x'+x+ 1 =0, devront être rangées dansl'ordre r \ rJ, r\ r\ Leur somme compose le période de six ternies
désignée par (G : 1) ou par (1 , 3 , a , 6 , 4 , 5).
Cette période se décompose en trois de deux termes (a : 1 ) , (a : 3) , (a : a), que nous désignerons plus simplement par p,p',p'\ et dont la valeur est
p =rr' + r6 p = r3 + r* p'—r1 -1- r*.
De là on tire immédiatement, en observant que r'= 1 ,
p p' =rk ■+■ r' -4- -4- ri—p' + p' pp"—r% + r6 + r + r'=p" +p p"p = r3 + r +rc+r*=p + p ,
ce qui donne d'abord S(pp')~a(p +p ' -\-p") = — a. Si ensuite on multiplie la valeur âepp' par p'\ on aura pp'p"=p'p" + {p"Y— p'+p + r* + a + r3 = a +p+p' +p"=i. Donc l'équation du troisième degré dont les racines sont p,p',p", est
pl+pl — a/? — 1=0. (A) Cette équation dont les trois racines sont réelles étant résolue par les
règles ordinaires, on connaîtra les quantités p = r+ r6=2eos.^^, = + r' = acos.^, p"=r' + rs = 2eos.^. Jusque là * est un nombre à volonté non divisible par 7; si on fait k= 1 , les racines seront p = a cos.—, p' = n cos. — — — acos. * ,/>"=2cos.—
= — 2 cos. y, la première étant positive, les deux antres négatives.
Ainsi la racine positive de l'équation (A) sera la valeur de 2cos.^;
d'où l'on déduira immédiatement la racine r= cos.— + «/— 1 sin. -,
ensuite les cinq autres racines de l'équation X=o seront déterminécspar les puissances successives r\r\r\ r5,r6.
Une racine de l'équation (A) étant connue et désignée par p, on en déduira les deux autres par une formule rationnelle, comme il suit :
p' = i-p-p' = -i-lp
C'est ce qui s'accorde avec les valeurs trigonométriques de ces raeines.
Au reste cette solution, pour le cas de «==7, est entièrement semblable à celle qu'on déduirait des méthodes ordinaires. En effet, l'équation X = o étant du nombre de celles qu'on appelle réciproques, ou dans lesquelles on peut substituer ^au lieu de on peut
la réduire [au troisième degré par la substitution x' + i = zx qui donne immédiatement
équation qui est la même que l'équation (A), et dont nous avons donné ci-dessus (n° io5) la résolution numérique par les fractions continues.
aifi théorie des nombres.
Exemple II. /*= 1 1.
(53i) Prenant dans ce cas la racine primitive g= a qui satisfait à l'équation gh= — i , on formera par les puissances de a, la série des dix racines de l'équation X = o, ce qui composera la période (10: i)ou (1 ,a,4i 8,5, t o , y , 7 , 3 , 6). Cette période se décompose en cinq autres de deux termes, savoir:
et ces valeurs donnent immédiatement les équations jt?'=a-t- p' . pp'=p+p"\ pp'—p" + pl\ d'où l'on déduit toutes celles qui expriment en valeurs linéaires les produits de deux dimensions, savoir :
p =z+p' pp' =p +p" pp"=p" + p»
P"^u+ p" pp =p +p- pp" =f +p
/>"• = a + p'" p"p" =p" + p pp" =p +p
f>e ces formules on déduit les valeurs fie quatre racines exprimées en fonctions de la cinquième, savoir :
p"'=p>-$p p"—pi—Spi+ r>p.
Substituant ces valeurs dans l'équation 0=1 +p'-i~p" + p" -+- p \ on a l'équation du cinquième degré,
p>+p*-/ïpi-5p' + 3p + 1 = 1; (A)
ait 4^ ^ ~
dont les racines doivent être a cos. — , a cos. — » — acos- 7^ »
__a(.os.lZ, aCos.-. Ainsi la plus grande des deux racines |»o-
