CHAPITRE XII. — LES POLYNOMES DÉRIVÉS. IqS

notation, lorsqu'il ne s'agit que des fonctions entières. On a, en cflet,

1 • JL ,

hP /i"

H T n(n — \), .An— p -\- \)x^-P-h. . .h r ni

pi / \ -f- / j^\

et, en posant /(x) = Aj:", il vient

l^our d'autres monômes, Bo:'', Cx^j . . . , on a des formules analogues; donc, si l'on fait la somme des développements obtenus, en tenant compte du théorème sur la dérivée d'une somme, on en déduit que le développement (i) subsiste pour un polynôme de degré quelconque.

Cette formule donne encore le développement de

c'est-à-dire de la différence d'un polynôme /(j?), ordonné suivant les puissances de l'accroissement h de la variable.

Si l'on fait j; = o, et si l'on remplace ensuite h par x, on obtient la formule de Mac Laurin

Enfln , si l'on suppose // = — .r, on a la formule de Ber-

IVOULLI (*)

113. Facteurs multiples d'un polynôme. — On dit que le polynôme f{x) contient le facteur (x — a) au degré de multiplicité/?, lorsque y(j:) est égal au produit de {x — a)P par un polynôme r^(^x) qui n'est pas divisible par {x — ^), de telle sorte que l'on a

f{x) = {x — a)Po(x),

avec l'hypothèse cp(a)^o. On a le théorème suivant : Pour qm*

(■) Cette formule a été publiée avant celle de Tayloh.