CHAPITRE XII. — LES POLYNOMES DÉRIVÉS. I

aussi la dérivée, que Ton appelle dérivée seconde ; on la désigne par /"(x): c'est un polynôme de degré {n — 2). En général, la dérivée ^'*"* d'un polynôme /(.r), de degré /i, est un polynôme de degré (n — /?); la dérivée /;*'''"• se réduit à la constante n ! A, et les dérivées d'ordre plus élevé sont nulles. On désigne la dérivée d'ordre/? de /{x) par l'une des notations

î^^', f^P-(jr), DP/(x),

employées respectivement par Leibmz, Lagrange et C.vuchy. Nous nous servirons, suivant les cas, de la notation la plus commode.

Il résulte immédiatement de la définition que la dérivée ^'"'"«^ d\ine somme algébrique de polynômes égale la somme des dérivées/?*'^"*** des termes de cette somme; ainsi

DP[a /(x) -^- ù t^{x ) -i- c^{x)] = aDp/{T) -+- ùDPo{x)-i- cDp^{x).

111. Dérivées d'un produit et d'un quotient. — Si l'on désigne par j^ le produit de deux polynômes 11 et v contenant la variable x, et si l'on donne à x l'accroissement Ax, il en résuhe pour u, i\ y les accroissements A//, Ac, Ar: on a

A K = ( w -f- A w ) ( P -h Ap ) — uv ; puis

Ak Ar Ati Am

A*r Aj" \x Aj:

et, pour Ax = o,

y — ui'' -i- vu' .

En divisant par wr, on peut écrire

y' l'expression — s'appelle la dérivée logarithmique du polynôme )*.

I^ar suite : La dérivée logarithmique d'un produit est égale ù la somme des dérivées logarithmiques des facteurs.

Ce théorème s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Par suite, la dérivée d'un produit de plusieurs facteurs égale la somme E. L. ~ I. i3

des résultats obtenus en multipliant la dérivée de chacun des facteurs par le produit de tous les autres. Si l'on a j^= (w : i»), on obtient

u -4- Aa // A>' = -7 »

Av v\ii - u Iv I

Xr Xr v{v -r- Iv )

et enfin

, vu'- - NV'

En particulier, la dérivée de — ou de :r""'", pour m entier, est

( — /w)jr^~'"^"* ; ainsi la dérivée de x'^ est mx'^~^ pour /n entier négatif, comme pour m entier positif.

La dérivée logarithmique d'un quotient est égale à la diflerence des dérivées logarithmiques du dividende et du diviseur.

Exemple I. — Soit

en désip^nant par a, p, Y) • • • ^^^ entiers positifs ou négatifs, on a

— — a— -*-3 hv h....

y u V ' ip

Enfin supposons que y soit une fonction de fonctions, c'està-dire que y soit exprimée en fonction de x par des variables intermédiaires

de telle sorte que y= l'{x). On peut trouver la dérivée y sans <|u'il soit nécessaire de faire les substitutions; en effet,

A>' A>' Al» Aw Aj7 ~ Iv lu Ix

et, par suite,

yr^'y(v)o'iu)f(x),

H2. Formule de Taylor. — Ce théorème a pour but d'exprimer un polynôme f{jc -h h) en fonction linéaire de /(x) et de ses polynômes dérivés /(x) , /'^(x), ... (n° 102). Ce n'est ainsi que la formule du binôme de Nevtion, avec un changement de