CHAPITRE XII. — LES POLYNOMES DÉRIVÉS

on a, en prenant la dérivée et en multipliant par x^

mais, pour /^ == o,

ou bien

on a donc successivement

^ X — JT"

et ainsi de suite.

Si l'on fait a7 = i, les valeurs de fu/i^fz^ ... se présentent sous une forme indéterminée; mais, en appliquant la règle de L'Hospital, on trouve ainsi, par un procédé détourné, la somme des carrés, des cubes, des bicarrés, ..., des (a? — i) premiers entiers (Abel, Œuvres complètes, 2* édition, t. II, p. i4).

Exemple II. — La dérivée d'ordre p de

a pour développement

1.2. . ./>-^ 2.3.. .(/> -♦- i)x->r. ..-hn(/H- !)...(/! H-/> — 1)57»-* ;

en formant directement g'{x), ^'(j?), g'"{x), ... et faisant ensuite a? = i, on retrouve la sommation des factorielles consécutives (n** 37).

Ilo. Formule d'Abel. — Nous avons vu que si f{x) désigne un polynôme de degré n, et cpo, ?n «P27 •••? ?« ^^s polynômes donnés dont les degrés reproduisent la suite des nombres entiers, le polynôme f{x) peut être développé suivant la forme linéaire

les coefiGcients \ étant indépendants de x. Désignons par ^ une constante quelconque, et posons

?o=i, ^i(x)=Xj <pj(a?)= , '^ > •••»

des lettres qui représentent les variables. Le poljnôme peut avoir des degrés différents par rapport à chacune des variables; on appelle degré d'un terme le nombre égal à la somme des exposants des variables qu'il contient, et le degré du poI}'nôme est égal au degré du terme du plus haut degré.

On peut prendre les dérivées du polynôme par rapport à cha- <!une des variables, et les dérivées successives par rapport à des variables différentes. Les dérivées partielles du premier ordre de f{jc^y^ z)^ prises par rapport ky^ par exemple, se désignent par l'une des notations

f;(x,y,z\ ^^^^^^Jj^. D^/(x,7,^);

lorsque Ton donne ensuite à x^y^z certaines valeurs x^, y^^ z^^ il suffit, pour indiquer cette opération, de remplacer, dans les parenthèses, x^y^ z respectivement par Xo^y^^ Zq. Si l'on prend la dérivée du terme

a fois par rapport à x, puis ^ fois par rapport à y, puis y fois par rapport à Zj on obtient, en désignant par la lettre A les arrangements simples (n" 45),

le résultat est indépendant de Tordre des dérivations. Pour toute Ibnclion entière/, il en est de même; le résultat s'indique par l'une des notations

f.^,U(^o'.^h -^..^foir-' '^-^V.'/(x,7,^-).

118. Formule de Taylor pour une fonction de plusieurs variables. — Soit une fonction f{x^y^ 5) de trois variables, par exemple; il s'agit de développer l'expression

f{x-x-h,y + k, z-hl)

suivant les puissances des accroissements A, A", / des variables x,^, -:;. Pour simplifier, nous nous servirons d'un symbole d'opération B, qui désigne le résultat que l'on obtient en faisant la