CHAPITRE XII. — LKS POLYNOMES DERIVES. 20I

somme des dérivées partielles /^, /^'., /,' de/(x,j', 3), multipliées respectivement par les accroissements A, A*, /. Ainsi, par défînition,

Mais 6/ est un polynôme en a:, y^ z, sur lequel on peut répéter la même opération dont nous désignons le résultat par S^f, <»l ainsi de suite. On a, en général,

Appliquons Topération 6 aux dérivées partielles de /{^^y, 2)»

Si Ton multiplie rcspeclivement ces trois égalités par h, A', / et si Ton ajoute les résultats, il vient, en tenant compte du théorème sur l'interversion de Tordre des dérivations (n° 117),

ou, sous la forme symbolique,

en y considérant -, y — y -r comme des quantités, et à la cod-

•^ ax ôy dz * '

dition de remplacer, après le développement du second membre, leurs exposants par des indices de dérivation.

Le symbole B est distributif, comme celui de la dérivée D^

ou - -, c'est-à-dire que, si Ton considère plusieurs fonctions

fy ^, '} des variables x, j', c, on a, quelles que soient les constantes A, B, C,

e^A/-:- Bo -+- Cil^) ^ Ae/-+- BOo -4- ce-!/.

Cela posé, la formule de Taylor, étendue à un polynôme de plusieurs variables, s'écrit

Pour vérifier l'exacliludc de celle formule, il suffit de coDsidérer la fonction

Le coefficient de li^k^tt dans le développement de est, en se servant de la notation des arrangements simples (n** 4o)

a! pi Y-

D'autre part, si l'on suppose

le coefficient de h^k?t( dans

ni «^ Ai ! \ <^j? é)^ c>^ / «^

est, d'après le n®80, égal à

ni a! pî^î ()a:«c>7p(>;;Y ou

qui ne dilTère pas de l'expression (a).

119. Fonctions homogènes. — Un pol}nome entier en x,j', z est homogène et de degré n lorsque tous ses termes sont de même degré n\ par suite, quelle que soit la valeur de ^, on a l'identité

f{tx, ty, tz) = tnf{x,y,z).

La somme algébrique de fonctions homogènes de même degré est une fonction homogène de même degré.

Le produit ou le quotient de deux fonctions homogènes de degrés p cl q est une fonction homogène de degré (p ± q,)

Toute fonction homogène, de degré/?, des variables x^y^ z est