CHAPITRE XY. — LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

fondamentales P|, Pa, P3, ..., Pv des carrés des différences des n quantités données, au moyen des fonctions symétriques fondamentales p\y p^t P^j ' ' '- /ht de ces quantités elles-mêmes.

On suivrait une marche semblable pour former les fonctions symétriques des sommes des n quantités données prises deux à deux.

Exemple I. — Si l'on désigne par/?, q, r les fonctions symétriques fondamentales (le trois quantités, et par P, Q, K les fonctions symétriques fondamentales des carres de leurs difTércnces, on a d'abord

si=p,

s^ — pt—2q,

5j=:/?3— 3pq -4- 3r,

s^ = p^— ^p^q -^' \pr -T-2^«

S:i = p^ — 5p^q -h 5p^r -^ 5pq^ — Sqr^

Sq = p^ — G/>^ q -r- 6/*5 r -h 9/?* q^ — 1 2pqr — 2 </' -^ 3 r* ;

puis, par les formules de Lagrange,

Si=354 — 4*i*3-'- 3^1,

et, par suite,

Si--^ 2/>«—- 6q,

Sj= 2/>^— lip^q -h 187*,

83= xp^— iSp^q — vip^r -h Syp^q^-h ^\pqr — ^^Qtq^— 81 r- ;

enfin, par les formules (•>.) du n" 151

R = p^q^-\- iSpqr — iq^— ip^^ — 27 r*.

159. Méthode de Serret. — Toute fonction des différences de n quantités ne change pas, lorsqu'on augmente celles-ci d'un même nombre /; alors les fonctions symétriques fondamentales prennent des accroissements

^Ply Vî' •••» ^Pn~ly ^Pny

qui s'annulent avec /, et dont les termes qui conliennent ^ à la première puissance sont respectivement

Mais une fonction quelconque cp de/?!, p^, . . -, Pn-uPa devient

o(pi-\-\puPt-+-^Piy ...);

puisque le résultat ne change pas pour une fonction de difFérences, les coefficients des diverses puissances de /, et en particulier celui de /, sont nuls. Par conséquent, la fonction o doit vérifier la relation

do . . ôo . ^ Oo

/i— - -+-( n — i)/>i — - -T-(n — 2)pt --•- -4-. . . = 0. àpi ^^ Opt ^^ Op^

Exemple I, — Former le produit ç des carrés des différences de trois quantités données a, b, c, au moyen des fonctions symétriques fondamentales

La fonction symétrique cherchée est de degré 4, de poids 6; son premier terme est a* 6*, et ainsi la fonction contient le terme /?'^*. Soit donc

o = ^1 ^yî H- A r* -4- B/?^/- -i- C/?* /• H- D ^7^;

si Ton annule identiquement Texpression

do do do

dp '^ dq ' dr

on en lire

•jiA-t-3B = o, 2B-»-9C = o, B -i- 6D -+- 6 — o, C -:- 4 ~ o

et, par suite