CHAPITRE XV. — LES FONCTIONS SYMETRIQUES

Texcès de chacune des quantités sur toutes celles qui les précèdent dans l'ordre donné

le produit V est une fonction alternée des n quantités, que Ton appelle la fonction alternée fondamentale rf<? Vakdermomde; en d'autres termes, si Ton échange deux des quantités f et A, par exemple, le produit V change de signe. En effet, V contient quatre groupes de facteurs :

1® Ceux qui ne contiennent ni y, ni // ;

•i" Ceux qui contiennent y et non A;

.V* Ceux qui contiennent h et non f]

4" Le facteur (/ — h) ou (h — /).

Les facteurs du premier groupe ne changent pas; ceux du second se transforment eu ceux du troisième et inversement; enfin le dernier facteur, seul, change de signe.

Si l'on pose

on a

/'{l)={l —a)(l ^^b)(l—c).,. • ; par suite, en multipliant,

Ainsi V- est une fonction symétrique des quantités a, 6, f , ...,/; il eu est de même du carré de toute fonction alternée.

Considérons maintenant une fonction entière quelconque, mais alternée F, des n quantités; le rapport F: V ne change pas par une

9,8o LIVftE II. — LES NOMBftES RATIONXELS.

transposition de deux quantités; c'est donc une fonction symétrique. Ainsi toute fonction entière et alternée de /i quantités est le produit d'une fonction svmétrique entière par la fonction allernée fondamentale de VA!<iDERM03iDE.

161 . Développement de la fonction de Vandermonde. — Si l'on effectue le produit V et qu'on opère la réduction des termes semblables, on obtient un polynôme homogène de degré v par rapport aux quantités r7, 6, c, ..., /. En faisant d*abord le produit des termes de la dernière ligne, puis de la précédente, et ainsi de suite, on voit que V contient le terme

avec le coefficient -h i ; c'est le terme principal de la fonction alternée ; par suite, le produit V est la somme des termes, en nombre n ! ,

que l'on peut déduire, du terme principal, par tous les échanges de deux lettres quelconques; ces termes ont le coefficient -|- i, ou — I, suivant qu'ils se déduisent du terme principal par un nombre pair ou impair d'échanges. En effet, la somme S est une fonction alternée des n quantités données : elle est donc divisible par V; mais, puisque ces fonctions sont du même degré, le quotient est une constante que Ton trouve égale à Tunité par la considération du terme principal.

On doit observer que, au lieu d'exécuter les permutations sur les lettres a, 6, c, . . ., /, on peut, sans.changer les résultats, les exécuter sur les indices o, i, 2, . . ., (/i — i).