CHAPITRE XVI

LES DETERMINANTS

La résolution du système de deux et de trois équations littérales du premier degré, à deux et à trois inconnues, a conduit Leibniz (1693) à la théorie des déterminants par l'étude de la loi de formation et des propriétés du dénominateur commun des inconnues. En 1700, cette théorie a été retrouvée et généralisée par Cramer, pour la résolution d'un système de n équations littérales du premier degré à n inconnues. Elle fut ensuite appliquée dans un grand nombre de questions d'Analyse par Bézout, Vander- MONDE, Lagrange, Gauss, Wronski. C'cst en 181 a que cette doctrine est devenue féconde, et a été étudiée d'une façon systématique par Cauchy. Elle a été développée considérablement par Jacobi, Cayley, IIksse, Sylvester, Hermite, Clebsch et Bor-

CHARDT.

Cette théorie a conduit Vandermonde à la notion des fonctions alternées dont nous avons donné les principales propriétés dans le Chapitre précédent; inversement, on peut déduire les propriétés générales des déterminants, par l'emploi du calcul symbolique, de la fonction alternée fondamentale de Vandermonde.

« Qu'est-ce au fond, dit Sylvester, que la théorie des déterminants? C'est une Algèbre au-dessus de l'Algèbre, un calcul qui nous met à même de combiner et de prédire les résultats des opérations algébriques, de la même manière que l'Algèbre nous permet de nous dispenser de l'exécution des opérations particulières de l'Arithmétique. »

Dans ce Chapitre, nous exposerons rapidement les principales propriétés de cette théorie, en renvoyant aux Traités spéciaux publiés par Brioschi, Baltzer, Salmon et Gunther. Pour le lecteur

.iH'ji LIVRE II. — LC« NOMBKES RATIONNELS.

pf'ii i;iriiiii(iri<»*f avec celle métlioile. nous recommandons plus [>;irtH:iiliêrement rOuvr.ip»* «le M. Minsiox ■ • -.

162. Définition et propriétés du déterminant. — Désignons para le symbole de n quantités données

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par /y, r / les s\mboles d'autres quanlilés : en d'autres

tenues, considérons les n- (|uanlités quelconques

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Si Ton (ait le développenienl de la fonction alternée fondaineiitalc

et si Ton remplace les exposants par des indices, on obtient le flr terminant ou la somme alternée

des n'^ ({uanlités données. Comme les échanges nécessaires pour former les termes de V ou de D peuvent porter indifféreminent sur les lettres ou sur les indices, on en conclut quV//i déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes par les lignes^ car 1(î terme principal formé par le produit des éléments de la dia*;onalc descendante reste le même.

Il résulte de la définition (\\.\un déterminant change de signe lorsqu^on échange les éléments de deux colonnes^ puisque cela revient à Téchan^^c de deux lettres de V. Il en est de même dans réchanp^e de d<Mix lignes. Par suite, un déterminant qui contient deux rangées identiques est nul.

(•) l*. MansI(»n, /i'icnients de la théorie des déterminants, avec de nombreux exercices, 'f cilition ; i883 (Paris, chez Gauthier-Villars).