CHAPITRE XIX. — CODIVISEURS ET COMULTIPLKS

Exemple IL — Démontrer que le nombre des termes de la suite de Fi- BONACCi, ayant le môme nombre de chifTres, est égal à 4 ou à 5.

Désignons par aie plus petit terme de la suite ayant n chifTres; le terme suivant est égal à a augmenté du nombre précédent qui est plus

grand que |a; donc ce terme est plus grand que fa; par suite, les cinq termes qui suivent a sont respectivement plus grands que

et le dernier de ceux-ci, plus grand que loa, possède un chilTre de plus que a; donc il n'y a pas plus de cinq termes de n chiiïres.

De même, soit b le plus grand nombre de (/i — i) chiffres; le nombre suivant est plus petit que ib\ par suite, les quatre termes qui suivent b sont respectivement plus petits que

2^,- 3^>, bb, Sb.

et, par conséquent, ces quatre termes ont n chiffres. En résumé, le ran^' d'un terme est compris entre 4 et 5 fois le nombre de ses chiffres.

Exemple III. — Le nombre des divisions à effectuer dans la recherche du plus grand codiviseur de deu\ nombres ne surpasse pas le quintuple du nombre des chiffres du plus petit des deux nombres donnés.

Lorsqu'il s'agit de deux nombres consécutifs de la suite de FnoxACCi, ce théorème résulte immédiatement des deux exemples précédents. Pour l'étendre à deux nombres quelconques, il suffit d'observer que, si deux restes consécutifs r^i et rp de l'opération sont compris dans l'intervalle de deux termes consécutifs de la suite, il ne se trouve aucun reste dans l'intervalle précédent, puisque l'on a

c'est-à-dire

cette inégalité subsiste lorsque l'un des restes est égal à l'un des termes de la suite; ainsi, le nombre des divisions ne peut surpasser le nombre des intervalles correspondants de la suite. Cet ingénieux théorème a été donné par Lamé (Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, t. XIX, p. 867; Paris, j853). Avant lui, le théorème avait été entrevu par Léger (Correspondance mathématique et physique, t. L\, p. 483) et par FiNCK (Nquv. Ann. de Math , t. I, p. 354; 1842).

Exemple IV\ — Déterminer le dernier chiffre du terme de rang n de la suite de Fibonacci.

Il suffit de connaître les derniers chiffres des quinze premiers termes et d'observer les résultats suivants : i" les termes de rangs (1 5 -+-/?) et (i5 — />), pour/7^i5, ont leurs derniers chiffres égaux ou complémentaires à 10,

336 LIVME III. — LA DIVISIBILITÉ ABITHMÉTIQIE.

«eloo que p est impair ou pair ; 2* les termes dont les rangs sont complémentaires à 60 ont leurs derniers chiffres complémentaires à 10; 3** les termes dont les rangs différent d'un multiple de 60 ont leurs derniers chiffres égaux.

Exemple V. — Pour qu'un terme de la suite de FiBOXACd soit divisible , par un autre^ il faut et il suffit que le rang du premier soit divisible par

7 ^ le rang du second.

Prenons un terme quelconque de la suite, le dixième 55, par exemple, *!t considérons les termes qui le précédent et ceux qui le suivent immédiatement, en supprimant les multiples de 55,

nous constatons ainsi que nous reproduisons, à partir du terme 55 ou 0, les termes de la série, pris dans Tordre inverse, avec les signes alternés -^ et — . Mais la série contient le terme Uo= o; par suite, puisque 55 est le dixième terme, on retrouvera le reste o aux termes de rangs 20, 3o, 40, . . . , et non à d'autres. Ainsi, les termes de la suite, divisibles par u^^ ont pour rangs tous les multiples de n.

Remarque I. — Nous avons supposé les nombres a ei b positifs; on peut aussi leur donner des signes quelconques en faisant cette convention que les diviseurs d'un nombre, ou de plusieurs nombres, sont toujours supposés positifs; mais, dans le calcul, on prend les valeurs absolues de a et de 6. '

Remarque II. — Dans la recherche du plus grand codiviseur de deux nombres, on peut prendre à chaque division le reste minimum, et, puisqu'il ne dépasse pas la moitié du di\iseur considéré, on en déduit que, dans cette méthode, le nombre des divisions à effectuer ne surpasse pas l'exposant de la plus grande puissance de 2 contenue dans le plus petit des deux nombres a et b.

190. De deux nombres premiers entre eux. — Lorsque deux nombres sont consécutifs, tout nombre qui les divise divise leur différence, qui est l'unité; par conséquent, deux nombres consécutifs ont I comme unique codiviseur. En général, on dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque, dans la recherche du plus grand codiviseur, on trouve i comme résultat final de l'opération; on dit encore que l'un d'eux est premier à l'autre. En particulier, si l'un de ces deux nombres est o, l'autre