CHAPITRE XIX
CODIVISEURS ET COMULTIPLES.
189. Codiviseurs de deux nombres. — La théorie de la divisibilité des nombres repose sur la résolution du problème suivant (EucLiDE, Liv. VII, Prop. 2) : Trouver tous les diviseurs communs de deux nombres entiers et positifs; en d'autres termes, trouver tous les nombres, que nous appellerons codiviseurs, qui divisent à la fois deux nombres donnés, n et b. Nous observerons d'abord c|ue si l'un des nombres est zéro, que l'on doit considérer comme multiple de tous les nombres, la recherche de tous les codiviseurs de a et de zéro revient à trouver tous les diviseurs de a, ou, ce qui revient au même, à trouver tous les codiviseurs de a et de a; mais, si les deux nombres donnés sont nuls à la fois, le problème est indéterminé, puisque tout nombre est diviseur de zéro. En exceptant ce seul cas, on démontre que les codiviseurs de deux nombres sont les diviseurs de leur plus grand codiviseur, Ainsi, le problème de trouver tous les codiviseurs de deux nombres inégaux revient à trouver tous les codiviseurs de deux nombres égaux à leur plus grand codiviseur, ou de trouver tous les diviseurs d'un seul nombre. On verra par la suite que ce problème est à peine connu, puisque, dans l'état actuel de la théorie des nombres, on ne connaît aucun procédé direct pour la recherche des diviseurs des nombres ayant plus de dix chiffres dans le système décimal.
334 LIVRE m. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
Il résulte encore de cette théorie que si deux groupes de deux nombres, a et b d'une part, a! et b' d'autre part, ont le même plus grand codiviseur, ces deux groupes admettent les mêmes codiviseurs.
On dispose habituellement Topéralion de la recherche du plus grand codiviseur de deux nombres, a et 6, de la manière suivante :
Quotients
Çn-l
qn
rn-i
rn-l
rn
Restes
La ligne supérieure contient les quotients des divisions successives, en nombre (/i + i)»^* '^ ligne inférieure contient les restes ; si l'on suppose /•«+! = o, le plus grand codiviseur de a et 6 est /*«. Ce Tableau correspond aux égalités
^•1= rtqt-T- r^.
rn-2 — ^n-i Çn-l "+" '*/.'•
Exemple I. — Trouver le plus grand codiviseur de deux termes con sécutifs i.i4 <?t 89 de la suite de Fibonacci (n° 3).
Les quotients sont tous égaux, à i ; les restes reforment la suite dans l'ordre décroissant, et le plus grand codiviseur est égal à l'unité.
