CHAPITRE XIX. — CODIVISEURS ET COMULTIPLES

On opère sur celle suile comme sur la précédente, jusqu'à ce qu'on n^oblienne plus qu'un seul resle, qui esl le plus grand codivîseur cherché. Pour légilîmerce procédé, il suffilde reprendre, en le généralisanl, le raisonnemenl que nous avons exposé dans la recherche du plus grand codJviseur de deux nombres.

D'ailleurs, on peul, comme dans le cas de deux nombres, employer les quolienls approchés par excès, ou les quolients les plus approchés, de manière à oblenir les restes les plus petits. On pourra aussi faire les simplifications dont il a été parlé ci-dessus.

Désignons par A le plus grand codiviscur des nombres «r, A, c, rf, . . ., et posons

a — \a\ b — lh\ c — Ar\ d — ld\ ... :

le plus grand codiviseur des nombres entiers a', b\ c^, d\ ... esl i ; on dil alors que les nombres n'ont aucun diviseur commun, ou soiïl premiers entre eux. Par conséquent, si l'on divise plusieurs nombres par leur plus grand codiviscur, on obtient des quotients premiers entre eux; inversement, si Ton multiplie des nombres par un nombre entier quelconque A, leur plus grand codiviseur est multiplié par A.

Il y a lieu de distinguer le cas de plusieurs nombres premiers entre eux du cas de plusieurs nombres premiers deux à deux. 11 est clair que des nombres premiers deux à deux sont premiers entre eux; mais des nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement premiers deux à deux; ainsi, par exemple, si a, h sont deux nombres impairs premiers entre eux, les nombres «, ^, a<ar, 2 6, sont premiers entre eux, mais ne le sont pas deux à deux.

194. Comultiples. — Nous allons résoudre un problème qui esl en quelque sorte l'inverse du précédent. Il s'agit de trouver tous les comultiples de plusieurs nombres donnés ou, en d'autres termes, de trouver tous les nombres qui sont séparément divisibles par les nombres donnés. Nous démontrerons ce théorème :

Les comultiples de plusieurs nombres sont tous les multiples du plus petit de leurs comultiples.

Considérons d'abord deux nombres donnés a et 6; désignons par A leur plus grand codiviseur, et posons

a — Aa' Cl b — \b' :

nous savons que a! et V sont des nombres premiers entre eux. Les comulliples cherchés sont des multiples de a, et sont tous compris dans la formule ma ou m^a\ dans laquelle m est un entier quelconque; pour que ces nombres soient des multiples de 6, il faut el il suffit que /nAa' soit multiple de A6', c'est-à-dire que V divise ma'; mais 6', premier avec a', divise m, et Ton di m = m! V ^ en désignant par m' un entier quelconque. Par conséquent, tous les comultiples de a et de b sont compris dans la formule ma ou m' a'b' ^\ inversement, tous les nombres compris dans cette formule sont divisibles par a ou a'A et b ou 6'A. On voit ainsi que tous les comultiples de deux nombres a et 6 sont tous les multiples d'un certain nombre

ii'K ^b

a ù 1, ou - >

que l'on appelle \q plus petit comultiple de a et de 6 (*).

Nous allons étendre cette proposition à un nombre quelconque d'entiers; il s'agit de déterminer tous les comulliples de plusieurs

nombres donnés a, 6, c, rf, D'abord il est évident que Tordre

de succession des nombres donnés peut être pris arbitrairement et que, par conséquent, a et 6 désignent deux quelconques des nombres donnés. Désignons par a le plus petit comultiple des deux nombres a et b] nous venons de voir que tout comultiple de ces deux nombres est un multiple de |jl, et inversement. Par suite, tout nombre 9 comultiple de a, b^ c, d, , . , est un comultiple de |jl, c, <i, . . .; et inversement, tout comultiple de }x, c^d^ ., , est un multiple des nombres donnés.

Par conséquent, la recherche des comultiples de n nombres entiers se ramène à la recherche des comultiples de{n — i) nombres, en remplaçant deux quelconques d'entre eux par leur plus petit comultiple. En appliquant le môme procédé au système des (/i — i) nombres, on pourra remplacer celui-ci par un système de (n — 2) nombres, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le système soit remplacé par un seul nombre, qui est le plus petit comultiple des nombres donnés.

(*) Si deux groupes de deux nombres (a, 6) et (c, c/) ont le même plus grand codiviseur et le même plus petit comultiple, il n'en résulte pas, pour cela, l'identité des deux groupes. Ainsi les groupes (2,3o) et (6,10) ont tous deux le même plus grand codiviseur 2 et le même plus petit comultiple 3o.