CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

tibles et comprises entre o et i. Divisons x par A, puis le quotient par A, et ainsi de suite, comme s'il s'agissait d'écrire le nombre x dans le système de numération de base A, et supposons (n" 30)

nous obtiendrons, en divisant les deux membres par A*,

les numérateurs j?i, x^^ x^^ . . ., Xf^^ sont des entiers positifs, plus petits que A, qui peuvent être nuls, à l'exception du premier x«. En opérant de même pour les autres fractions du second membre de l'égalité (i), on en déduit

A«BPGY...

X^ Xt

. 71 ^ Jt .

"^ B? ^ BP-' ■^-

Zx z^

^ Cy ' GY-» ^'

Donc, tout nombre fractionnaire irréductible dont le dénominateur est le produit de puissances d'entiers positifs A, B, C, . . . , premiers entre eux deux à deux, est décomposable en une somme d'un entier et de fractions ayant pour dénominateurs les puissances de A, B, C, . . . , et pour numérateurs des entiers positifs respectivement plus petits que A, B, C, . . *. Si ces nombres ne peuvent être décomposés en produits d'autres nombres, la décomposition est unique, d'après le numéro précédent; mais elle peut être obtenue de diverses manières.

En particulier, si l'on remplace A, B, G, . . . par des nombres premiers a, fc,c, . . ., inégaux deux à deux, on a ce théorème :

Toute fraction irréductible est, d'une seule manière, égale à la somme de fractions simples, augmentée dhin entier positif , nul, ou négatif •

exemple /. — Décomposer ]en fractions simples la fraction-—- •

On trouve t; -+- t H i .

Ajr^*^i > //. — L»^' .-a:» -^- ri :-*"Li.*tf «àni:»*^ j* xt'fBiifrt - — '—^ — " ' " ' «

j î : : T ♦ : > S "" Sa