CHAPITRE I. — ADDITION DKS NOMBRES ENTIERS

Exemple /. — On a, pour la somme des termes de rang pair et pour celle des termes de rang impair, les formules

M| -h Mj -h M5 -^ . • . -^ Wj«+| = Ufn-^t, 1-f- Ml -h M v-h . . . -h Mil, = Min+i-

4. Triangle arithmétique de Pascal. — Le Tableau suivant contient les dix premières lignes du triangle arithmétique.

Fig. I.

Triangle de Pascal.

Par définition, on forme les termes de chaque ligne au moyen des termes de la ligne précédente par celte loi de formalion : Un nombre quelconque du Tableau est égal au nombre placé audessus de lui, augmenté du nombre qui précède celui-ci dans la même ligne.

Pour désigner les différents termes du triangle arithmétique, on numérote les lignes en descendant à partir de o, et les colonnes successives de gauche à droite, à partir de o; le terme contenu dans la ligne de rang/? et dans la colonne de rang q est indiqué par CJ. Avec cette notation, la loi de formation du triangle s'écrit

Par hypothèse, on a C® = i, pour toute valeur entière de /?, et même pour p = o. On aperçoit d'ailleurs immédiatement que le

n«"tmbre «l»""^ Irmur-^ •!•' rhaqu»' li:^'iit* tiii;:inentr^ continuellement • It' I : lin [fOut sii|ipi~>'^*^r !•' Kiiil«Mii iiiilétiniinent allongé dans le *»-ns Cy— ^. *'t lini |m»mt,i. piir c«in\».*nli«iii.

fHHir l«»iil t-ntît-r y |i|iis ;:r.iiiil «|ii«*y?.

Il r«'^i:ltr^ iminéiliatomrnt «le la lui de formation que. si 1*00 re- [>n.->enle jidr

■ Al !.'/,/> /', CI. 1

une li::ne qiielconqui* du triangle, la suivante sera Bi I, I — a. 'ï.— A h~^*i, rt— I, i:

[lar conséquent, dans unr li::nc tjurlcontjue du triangle arithmèii'j'i*^, les termes *'t essaie distnnre des extrêmes sont égaux. D'autre part, la li::ne 1 1> • du trian::le contient deux fois tous les termes de la lii:n»^ lAi qui pivcrde: A/ somme des termes d'une /i:rne du trian^l** a rit h m* tit/u** est If double de la somme des termes de lu liirnt* pn'iy'dente : lui a donc la formule

C n n ombre *j ii r Ira n */ue du trian g le es t èga l /> la se m me de tous 1rs tfrmfspfticr'i ttu-drssus fie lui dfins la eolonne prêctdentt*.

En rllV-l, considérons, par exeiuple. le terme C,j = ia6; on a. iTapn-s la loi de formation. les épdités ci-dessous dont II suffit df faire l.i ^omnif. en supprimant les nombres égaux dans les deux membres de lé^ralilt' nblenuf

i9».ri ■■ — I* - >»*•

3'» rrr I '» — .>i»

126 = jCt -^ 3> H- 20 -i- 10-^ 4 -+- !• L n nombre fjuelc"nf/(t." du tria m: le est la somme de tous to

nombres d'une diagonale descendante N^ aboutissant au-dessus du nombre considéré. Celte propriété se démontre comme la précédente; ainsi l'on a, par exemple,

Si U on fait les sommes successives des nombres du triangle qui sont contenus dans les diagonales ascendantes ^ , on reproduit la suite de Fibonacci (*).

En effet, si l'on considère les deux diagonales ascendantes et consécutives

I, 5, 6, I. Total 13,

et si l'on fait la somme, dans chaque colonne, on trouve la diagonale suivante :

I, 7, i3, 10, I. Total 3i

Par conséquent, la somme des nombres d'une diagonale ascendante est égale à la somme des nombres renfermés dans les deux diagonales précédentes.

5. Tableau de sommes. — Considérons une suite de quantités rangées suivant une première colonne verticale; désignons ces quantités par Wo, M|, Wjî, .... Avec une quantité quelconque, que nous désignerons parS^^Q, nous formerons une seconde colonne à coté de la première, par les égalités

(i) ^ 2a3=i/j-l-SM,,

2 Up^i = Up-\-Zup,

Avec une seconde quantité que nous désignerons par S^^o, l'indice de S désignant une nouvelle colonne, nous calculerons la troisième colonne par la loi de formation

(2) 2«Wp K, = 2m;,-+- 2«m

(•) BiNET, Sur le dénombrement des combinaisons discontigiies {Comptes rendus, t. XVII).

c'est-à-dire que nous déduisons la troisième colonne de la seconde, de la même manière que nous avons déduit la seconde de la première. Par conséquent, avec les deux suites limitées ou illimitées

Uq Ui £/] Ui

Mo 2» Mo 2» Mo 2' Mo

on forme un Tableau de sommes dans lequel Tindice des S désigne le rang de la colonne et celui des u le rang de la ligne {^fig' ^), par la loi générale de formation