pu — q, a\f

p^ao'^bo, g=.(^^±-—ï\

on a les formules

VqVi Vj Vji . . . Vj«-i a Ut"-» b„ On peut appliquer un procédé analogue à l'extraction de la racine eu-

Jo8 NOTES ET ADDITIONS.

bique d'un produit ^o^o^^o ^^ nombres positifs; on pose

ao -^ bo -^ Co I On-*- ^n-*- Cf»

Oi = î--— f et / On-i-t =

Gq -h bo -h Cq \ «« H- ^« H- c

3aoboCo I "iOnb^Cn

C| = j r I Cn-i-i = 1 ,— •

boCo-hCoao-^- aoOo \ «>«<^« -H c^a^ -f- a«6«

On a d'ailleurs

«/i+i ^«+1 c«+i = a^ 6« c« = ... = «1 6| C| = ao 6© c© ;

les nombres a^ b^^ Cn convergent très rapidement vers la racine cubique du produit ^To^o^o-

Plus généralement, on a un procédé analogue pour rc\tractîon de la racine d'indice r du produit de r nombres positifs aoboCo ... /o.

Désignons par/?i la moyenne arithmétique des n nombres ao. boyC^, . . . , /q; par/7t la moyenne arithmétique des Cjï produits de ces nombres pris deux à deu\, par/73 la moyenne arithmétique des C* produits de ces nombres pris trois à trois, et ainsi de suite, de telle sorte que l'on ait ridentité symbolique

Posons ensuite

t Pi Pz t Pr

Pi Pi Pr-\

il cn résulte

(tib\Cx ... /i = (ioboûQ ... /o*

Formons de nouveaux nombres a^, 6], C], ...,/tj déduits de ati, 61, Ci, . . . , /i, comme ceux-ci ont été déduits dofloj ^o? ^o> • • • ? 'oî nous obtenons ainsi des suites de r nombres am bny Cm > » ' , In, dont le produit reste constant, et qui convergent très rapidement vers la racine d'indice r (lu produit donné a^bf^c^ ... /q-

L'application de ce procédé conduit à des formules fort importantes, que nous exposerons plus loin, dans l'application des fonctions elliptiques et abclicnnes à la théorie des nombres.

XL — Sur les réduites intermédiaires (n*> 259).

Soit un nombre x développé cn fraction continue; considérons deux réduites dont les indices diffèrent de deux unités

yVil et •^;

nous avons (n* 242)

|)oson«i, de plus,

gp^ 1 = <7/»+i Sp -+- gp- ! *'

Si Ton donne à h les valeurs entières o, r, 2, 3,..., qp+t, on obtient «les fractions (u/i'.Vh), que l'on appelle réduites intermédiaires; on a la «iuitc

//' 1 fp-i-^/p fp-\'^ "^fp . . , ^ fp^ gp-i' gp-i-^gp^ gp-i-^'^gp' ' gp'

On a ainsi formé, entre les réduites d'indices {p — i) et p, une suil»^ incomplète de Brocot^ en intercalant d'abord une médiante entre les deux réduites, puis une autre médiante entre la médiante intercalée et la dernière réduite, et ainsi de suite. On a donc les propriétés suivantes :

1° Les réduites intermédiaires sont des fractions irréductibles.

2** La différence de deux réduites intermédiaires consécutives est égale à une fraction dont le numérateur est i et dont le dénominateur est égal au produit des dénominateurs des réduites.

V Si l'on développe un nombre x en fraction continue, et si Ton intercale entre la suite des réduites de rang impair toutes les réduites intermédiaires, de telle sorte que les dénominateurs forment une suite croissante, on obtient une nouvelle suite croissante dont les fractions ne surpassent pas X. De même pour les réduites de rang pair.

4** On peut prolonger indéfîniment l'une des suites de réduites intermédiaires. En effet, si q„ désigne le dernier quotient incomplet, on peur introduire encore un quotient incomplet 7^+1 plus grand que tout entier donné, et poser qn-^i = ^c. On forme ainsi une suite de fractions irréductibles qui s'approchent de x d'un nombre moindre qu'un nombre donné, si petit qu'il soit.

Les remarques précédentes permettent de déterminer, parmi toutes les fractions dont le dénominateur ne surpasse pas un nombre donné N, celles qui s'approchent le plus, par excès et par défaut, d'un nombre donné quelconque x. En effet, on développe x en fraction continue; si l'une des réduites a pour dénominateur N, c'est l'une des fractions cherchées; on forme alors entre cette réduite et la précédente une suite incomplète de Brocot, en ne conservant que les médiantes dont le dénominateur ne surpasse pas N. Si aucune des réduites n'a pour dénominateur N, on prend les deux réduites dont les dénominateurs comprennent le nombre N et l'on intercale entre elles une suite incomplète de Brocot.

Enfin, nous ajouterons que la considération des suites de Brocot et do Farey conduit immédiatement à la démonstration de ce théorème de Lejei'NE-Diriculet :

5lo NOTES ET ADDITIONS.

Dans l'ensemble des fractions dont le dénominateur ne surpasse pn% un entier donné N, il en existe au moins une de dénominateur q^ f^m

diffère d* une quantité moindre que —rx^ par défaut ou par excès, d^un nombre positif quelconque x.