X. — Sur l'extraction des racines par les moyennes (n

Considérons deux nombres positifs quelconques Oq et bç^\ désignons por //] cl b\ la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique des deux nombres donnés, de telle sorte que

Ou-^ba . la^b^ . .

ai m — , />, — --, ai^i — «0^0'

NOTES ET ADDITIONS. Soj

rcpclons les mêmes opérations sur ai et ^i, puis sur ^2 ^^ ^i» ^^ ainsi de suite, de lelle sorte que Ton ait

<'/n-i = ; » t'/i+i = . > ^'/i-hit'/n-i — «0^0 î

les nombres ai, a^, aj, . . . , a^ sont décroissants, mais leurs carrés surpassent le produit ao^oî '^^ nombres ^i, ^t» ^si • • • f ^n sont croissants, et leurs carrés sont toujours plus petits que ao^o- Ënfîn la diiïérence (a^ — ^/i) décroît très rapidement jusqu^à zéro.

On obtient, de cette façon, un procédé rapide d'extraction de la racine carrée, qui était connu des anciens. La méthode d'interpolation par les parties proportionnelles, appliquée par Hipparqie à la détermination dr l'équinoxe, y conduit directement. En effet, soit a^ > ^oî en prenant la valeur 60 approchée par défaut, on obtient pour le carré un nombre trop petit de (ao^o — ^o)î ^" prenant la valeur de «o approchée par excès, on obtient pour le carré un nombre trop grand de {a\ — a© 60). Donc, en désignant par h\ la nouvelle valeur de {a\ — ao.6o)) (^ans la supposition des arrroissements proportionnels, on aura

/>! — ^0 K «0 — 60 ~~ au -f- 60

d'où

Ot

Quant aux inégalités précédentes, elles sont immédiatement visibles sur une figure géométrique.

On peut exprimer a„ et un comme fonctions numériques du second nrdre: en effet, si l'on pose (n® 177)