CHAPITRE VI. ~ L ANALYSE COMBINATOIKE. G

loDoc; en supprimani les lignes et les colonnes qui contiennent a et a', il reste on ensemble de cases ijui correspond à un échiquier de (an — a)

Permuli s de côté. Mais a peut

Exemple III. — Déterminer le nombre R„ des permutations figurées qui coïncident avec elles-mêmes en faisant tourner l'écbiquier d'un quart de tour {fie. 3o).

La permutatioa est symétrique par rapport au centre de l'échiquier, cai-

Permutations tournantes.

elle coïncide avec elle-même par rotation de deun quarts (le puisque les jetons vont par quatre, sauf au centre,

R4n+, = Ri„, et Ri„+» = RiB+i =0;

puis, comme précédemment, en observant que le jeton ne peut être placé dans un coin de l'échiquier,

R4n = (4/1—2) R4»-4; par suite

R4;, = 2.6.io. ...(4/* — a)-

Exemple IV, — De combien de manières peut-en effectuer le produit de n facteurs distincts, en supposant que tous les produits diff'èrent des facteurs et diffèrent entre eu\?

Soit 0/1 ce nombre de 'manières; le nombre de multiplications à faire dans chacune des manières est toujours (/i — i). On a d'abord, pour deux facteurs a et 6, les multiplications ab et ba\ donc Oj = 2.

Prenons un troisième facteur c; on peut le combiner comme multiplicateur ou comme multiplicande avec le produit effectué, ce qui donne

ciab) et {ba)c\

mais on peut aussi faire intervenir le nombre c, pendant la multiplication, de quatre manières :

acb^ cab^ bca, cba\

on a donc O3 = 60j. Prenons un quatrième facteur d et combinons-le avec l'un des O3 produits entièrement effectués, abc par exemple. On a deux manières distinctes :

d(abc) et (abc)d;

mais, si Ton introduit le facteur d pendant l'opération, abc exige deux multiplications. Donc, en faisant intervenir d dans l'intervalle de la multiplication de a par(ôc), il y a quatre manières :

ad{bc)j da(bc)j a{dbc), a{bdc) ^

et autant pour la multiplication de {bc) par a; en tout dix manières. On

a donc

Désignons par M une des manières employées pour obtenir le produit de (/i — I ) facteurs, et introduisons le nouveau facteur/. Celui-ci peut sr combiner conmie multiplicande ou comme multiplicateur, ce qui donne les deux cas M/ et /M: mais, si on l'introduit avant d'avoir effectué le produit M, il y a (n— 2) multiplications dont chacune donne quatre manières; donc en tout