CHAPITRE VI. — l'analyse COMBINATOIRE

Exemple IIL — On permute les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 de toutes les manières possibles; trouver la somme des nombres formés par ces permutations dans le système décimal.

On prend la somme des nombres donnés par une permutation et par la permutation complémentaire ; on trouve ainsi, puisque la somme des nombres de deux permutations complémentaires, telles que

est constante, que la somme cherchée est la moitié du produit de P^ par le nombre 66666.

43. Permutations ûg^ées. — Ce sont les dispositions de n jetons sur les cases d'un échiquier de n^ cases, de telle sorte qu'il n'y ait pas deux jetons sur une même ligne -> ou sur une même colonne ^, Ces dispositions correspondent au problème des tours au Jeu d^ échecs,

A toute permutation de n nombres correspond une permutation figurée, et inversement ; nous trouverons l'application des permutations figurées dans la théorie des déterminants.

Ldi Jig. a8 représente les permutations figurées de quatre éléments 1, 2, 3, 4; elles sont rangées dans l'ordre numérique, d'après la permutation correspondante placée au-dessous de chacune d'elles. Les cases ombrées figurent les jetons.

Nous montrerons plus loin, au Chapitre VIII, que cette représentation des permutations, qui constitue un ensemble important des théories de V Arithmétique de position, trouve encore une intéressante application dans les produits des sommes de quatre carrés, et dans la théorie des factorielles.

Exemple I. — Dans toute permutation figurée, le nombre des jetons situés sur les cases de couleur opposée à celle d'un coin de l'échiquier est toujours pair {voir n** 8).

En effet, soient

(i»ri)» (^i^s), (3,^3), ...., {n,yn),

les coordonnées des jetons d'une permutation figurée yxy^yz ^ - » yn , en prenant le coin de coordonnées (i , 1) pour origine. La somme de toutes Jes coordonnées

(l -H ^Ki) -4- (2 -+-7,) -+-(3+^3) H- ... -^(/l-H^/»)»

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Les pcrmatatioQS ii$iin*es de qoatre èlêmeats.

§ommft paire, qai correspondent à îles jetons posés sur des cases de même routeur que la caâe(i.n. il reste un total pair. Par suite, les parenthèses à somme impaire, qui correspondent au\ jetons placés sur des cases de couleur opposée à celle du coin ii.O* forment un nombre pair; elles sont donc en nombre pair.

Exemple II. — Trouver le nombre G« des permutations des /i premiers chiiïre«Y dan^ lesquelles la somme des chiffres à égale distance des extrêmes est la même. En d'autres termes, trouver le nombre des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre de Téchi— quier.

Si n est impair, il y a une tour au centre de Téchiquier, et, en supprimant la ligne et la colonne du milieu, on obtient un échiquier dont le côté est (n — i). On a ainsi

Gjii^l = Gl;|.

Soit CyîyÇ'. 29) un échiquier pair de côté 2/1; la position d'un jeton a dans la première colonne donne la position d'un jeton a' dans la dernière co-