CHAPITRE VI. — l'analyse COMBINATOIRE
Exemple IL — Trouver la somme de tous les nombres du système décimal qui n'ont pas plus de q chifTres.
Exemple III. — Décomposer le tableau des arrangements complets de p lettres, prises q ^ q, d'après la considération d'une lettre a.
Exemple IV. — Décomposer le tableau des arrangements complets de p lettres, prises q ^ q, d'après la considération de deux lettres a et b.
AT, Combinaisons simples. — Les combinaisons simples de p objets, pris g ^q^ sont les groupes que l'on peut former avec q de ces objets, de telle sorte que deux groupes diffèrent par le choix et non par Vordre des objets. Ainsi
les Permutations Pq ne diffèrent que par l'ordre,
les Combinaisons CJ » » le choix,
les Arrangements AJ diffèrent par l'ordre ou par le choix.
On a la formule
x\p — r q,\jp ,
et, par suite,
Qq ^ ;?(/? — l)...(/? — y-H I) ^
Ainsi, le nombre des combinaisons simples de p objets, pris q à q^ est le produit des q nombres entiers décroissants à partir de />, divisé par le produit des q premiers nombres.
On peut encore écrire
A toute combinaison CJ en correspond une autre, complémentaire.
Si l'on suppose que les objets sont des lettres que l'on peut ranger dans chaque combinaison, suivant l'ordre alphabétique, et si l'on observe que le tableau des combinaisons est symétrique par rapport à toutes les lettres qui y entrent, on voit que
le nombre des lettres du tableau est ^C?î
le nombre de fois que a s'y trouve est - C^ ;
le nombre des combinaisons contenant a est.. . ^^^-i- On a donc la formule
d'où Ton déduit encore l'expression de CJ.
LIVBC I. — LES ^iOXiaXâ K9TIEftS>
Enfin on a la formole
^Cî= /i-f-r C;.,. >^/r/* -^i
qoe Ton démonlre en ajoaUnt à chacune des combinaisons du tableaa C^, chacone des • /> — y — i • lettres qni nV entrent pas et en ob^serrant qae Ton reproduit ainsi q fois le tableau C^.
EiempU /. — De combien de manières peat-oa afipGqaer q«atre, au pta.4. At^ «epc coolenrs du spectre soUîre. sur tes CKes d'an tétraèdre
réjniiert
Poor qaatre coolenrï distiactes 3 C^ on 70
trois » » îCi •> io5
dem. * » îCf » 63
j aae * • ....... C| » 7
Ea loat x|5
Exemple II. — Dénoiitrer directemeat que le nonbre de tootes le$ combiaaiéoas possibles de p lettres est é^ à a^ — 1 . — En effet, preaoas, par exemple, qaatre lettres a, 6. c, d\ formons tootes les combîaaisons pos— sibles de ces quatre lettres; ajoutoa5-j l'anité: nous formons le tableau de çaoche, dont le nombre des combinaisons est. en comptant 1, égal à a^. Ajoutons ane lettre e. nous formons le tableaa de droite, .\insi le nombre des combinaisons possibles de cinq lettres est le double de celui de quatre lettres, et ainsi de suite.
Fig. 3i.
a. b. c, d, ae, 6e, ce. </e,
ab, ac, ad, bc, bd, cd, abe. ace, ade. bce. bde^ cde.
abc, abd, acd, bcd, abce. abde, acde, bcde,
abcd, . abcde.
Combinaisons de qaatre et de cinq lettres.
On peut donner une autre démonstration fondée sur la considération du ^vstème de la numération binaire. Si Ton considère les unités des différents ordres jusqu'au /i'^"* comme des objets différents, tous les nombres du système binaire ayant n chiffres au plus représentent, après suppression du zéro, toutes les combinaisons de n objets pris un à un. dea\ à deux, .... jusqu'à 71, c'est-à-dire tous les nombres qui ont i, a. 3, .. ., chiffres significatif?) dans le système binaire. Le nombre total des combinaisons est donc égal au nombre du système binaire formé par n fois le chiffre i ou 2'* — i. Le Jekinty boulier chinois de Fo-cni, est une représentation sensible de cette démonstration.
