Addition des combinaisons simples. — On a la formule

qui correspond à la loi de formation du triangle arithmétique, et, puisque les deux premières lignes du tableau des nombres de combinaisons et du triangle sont les mêmes, on en déduit que les tableaux sont identiques.

Exemple /. — Vérifier la formule (i) par l'expression de G^. Exemple II, — Décomposer le tableau Ç/j, par la considération de dcu\ lettres a et b,

Gombinaisons ne contenant ni a ni b G^i

Gombinaisons contenant a et non b, . . C^'-i

» » 6 et non a CJJlJ

. )> » a et bl Q/jr\\

on a donc la formule

^p — l-^,,2 -T- 2Uj j -t- L.p,,

que l'on peut vérifier par l'expression de G^ ou déduire de la formule (1), par l'addition des égalités

Exemple III, — Décomposer le tableau des combinaisons CJ par la considération de trois lettres a, b, c.

Combinaisons ne contenant aucune des trois lettres ^p-s

)) contenant une des trois lettres C J C^lJ

» » deux des trois lettres C| CpZ\

u » les trois lettres CJC^lJ.

On a donc la formule On trouve, par induction, la formule suivante

cj = C2, -h G» Gji). -f- G? Gjiî -i-. . . -4- c; c^i; ,

ou, sous la forme symbolique,

(I) G»*A*c»:;:(C-i-ir,

en considérant les indices supérieurs comme des exposants. On peut démontrer directement cette formule par la considération de r lettres déterminées, ou la vérifier a posteriori. ( Voir un de nos articles dans la Nouvelle Correspondance mathématiquCy t. II, p. 70.

Exem,ple IV. — Si l'on désigne par ap le nombre des arrangements simples de a lettres prises /? à/?, on a la formule

(a -h b)p= Oj,-^^ Up-i bi -+- f—^ ap-t bt-\-. . .-^ bp,

que l'on appelle formule du binôme des facto rie lies de Vandermonde.

En effet, (a -+- b)p est le nombre des arrangements simples de (a -h b) lettres prises p k p; si l'on partage ces lettres en deux groupes, l'un de a lettres, l'autre de b lettres, ces arrangements pourront se diviser en différentes classes

1° Arrangements ne contenant que des lettres du premier groupe;

2® » contenant (/? — i) lettres du premier groupe et i du second;

Cherchons combien il y a d'arrangements de la (^ -*- 1)'^"» classe. Nous commençons par former les arrangements des a lettres du premier groupe prises (/? — q) k {p — q); dans ces arrangements, on introduira q lettres du second groupe et Ton variera leur ordre de toutes les manières possibles, sans changer l'ordre des premières, ce qui peut se faire âepq manières, et l'on obtiendra ainsi PqCip-q arrangements distincts de (a + 6) lettres