I, 8, II

En partant du nombre 2, on forme un deuxième cycle

8o LIVRE 1. — LES NOMBRES ENTIERS.

En partant du nombre 3, qui ne figure pas dans les deux cycles précédents, on forme un troisième cycle

enfin il reste le cycle formé par un seul nombre, 5.

Cela posé, l'échange de deux éléments augmente ou diminue, de I, le nombre des cycles de la permutation, suivant que les éléments échangés appartiennent au même cycle ou à des cycles différents. On en déduit que deux permutations appartiennent à une même classe ou à des classes différentes suivant que les nombres de leurs cycles sont ou ne sont pas de même parité.

Pour déterminer la classe, on remarquera que la permutation suivant Tordre naturel contient un nombre de cycles égal an nombre des éléments de la permutation.

La théorie des inversions et des cycles trouve son application dans un grand nombre de questions d'Algèbre 5 le lecteur trouvera une interprétation intéressante de cette théorie dans le Jeu du Tarjuin (voir nos Récréations mathématiques).

Exemple I. — On appelle écart d'un élément la différence entre son rang dans la suite naturelle et son rang dans une permutation. Démontrer que si Ton supprime un terme quelconque d'une permutation des /i premiers entiers, la variation du nombre des inversions est de même parité que l'écart du terme.

Exemple IL — Après avoir formé le tableau C^ des combinaisons simples de/) lettres, prises ^ à q, on suppose que a lettres deviennent les mômes que a; quel est le nombre des combinaisons diiïérenles?

Les combinaisons qui contiennent r fois a sont en nombre

et il faut faire la somme de ces expressions de r = o à r = a.

Exemple III, — On forme le tableau des arrangements simples AJJ de p lettres prises q ^\ q\ on suppose ensuite que a lettres sont les mêmes que a; combien y a-t-il d'arrangements différents?

Les arrangements qui contiennent r fois a correspondent, en retirant

celte lettre, à une combinaison G^Za î introduisons r fois a dans cette

combinaison et permutons les lettres de toutes les manières possibles : nous obtenons des arrangements différents en nombre