CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION
qui remplit les conditions de Ténoncé. Inversement, toute disposition sur deux rangées, conforme aux conditions de Ténoncé, conduit à une marche sur Téchiquier triangulaire. Ainsi, le nombre des files égales, pour in
nombres donnés, a pour expression TJ = Cj^.
Exemple IV. — Si Ton remplace TJ par t^ on a la formule
En effet, si l'on considère Téchiquier triangulaire ayant aoUn^i pour hypoténuse, tn+i désigne le nombre des marches par pas >j. et -> pour aller de a^ à an-^i» Le nombre de celles qui passent par a^, sans passer par di, atj . .., a^-i, est évidemment égal au nombre des marches de bi à bn-pi multiplié par le nombre des marches de a^-p à ctn+i, c'est-à-dire à tn-p tp. En faisant /> = i , 2, . . . , /i, et en sommant, on obtient la formule demandée.
Fig. 37.
rtj
bi
Exemple V» — Démontrer la formule
tn-\ — G,t tfi-t ■+■ ^n-\ hi-Z — • • • =0.
Exemple VI. — Trouver la somme de tous les termes contenus dans les X premières lignes et les y premières colonnes du carré arithmétique.
Exemple VIL — Si l'on remplace, pour abréger, Fg = G J;, par y», et si Ton suppose ^0= i? on a la formule
Cette formule se démontre, comme à VExemple IV, en classant les marches de la tour qui joignent l'origine à toutes les cases d'une parallèle
à la diagonale ascendante f , d'après le nombre de celles qui vont de l'origine à an et qui passent par a^, sans passer par «i, aj, . . . , ap^y {fig* 37). Exemple VIII, — Démontrer que la somme alternée
qoqn — qiqn -i-^qiqn-t— . •• -*-( — O^^/t'Zo
est nulle pour n impair, et égale à 2"-^v pour // pair égal à 2v.
OU (2) représente le terme d'un échiquier pentagonal, soumis à la loi de formation du carré arithmétique. Et Ton sait qu'il en est de même dans la superposition d'échiquiers soumis à cette même loi. c. Q. F. D.
La considération de Téchiquier hexagonal de M. Delannoy permet de résoudre immédiatement le problème suivant sur le jeu de dames. Une solution beaucoup moins simple a été donnée dans un intéressant Mémoire, par M. D. André {Bulletin de la Soc. math,, t. VII, p. 43).
Exemple /. — Sur un damier présentant une largeur donnée de cases et une hauteur indéfinie, par combien de chemins un pion qui ne recule jamais et qui part d'une case donnée peut-il arriver à une autre case donnée?
Le déplacement du pion, au jeu de dames, se fait par pas successifs, dans les deux sens -^^^, sur des cases de même couleur, tandis que les bords du damier xx' et jry sont parallèles à la direction >)r. Soit M la position
Fig. 40.
du pion sur le bord supérieur du damier, de telle sorte que xM et M^ contiennent respectivement a et b cases. Si l'on fait tourner le damier d*un demi-quart de tour dans le sens opposé aux aiguilles d'une montre, les déplacements du pion deviennent parallèles aux directions >^ et ->, c'està-dire parallèles à ceux d'une tour, tandis que les bords verticaux xx' ^^ yy' deviennent parallèles à la diagonale "^k. On est ainsi ramené à la considération de l'hexagone arithmétique. ( Voir n° 6, Exemple III,)
