CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION

S3. Le carré arithmétiqne. — Il est défini par une colonne et par une demi-rangée d^unités; on forme un terme quelconque par Taddition de celui qui le précède et de celui qui le surmonte.

Fig. 32.

Carré arithmétique de Fermât.

leiue

Si l'on désigne par FJ le terme contenu dans la (ar-|-i)» ligne et dans la (j* -|- i)*^™« colonne, on a par définition

On forme ainsi le triangle arithmétique de Pascal, dans une disposition spéciale plus symétrique et plus commode pour la suite des calculs; d'ailleurs la loi de formation nous montre que tout terme FJ du tableau est le nombre de manières de se rendre de la case (0,0) à la case (x, y), comme dans la marche de la tour au jeu des échecs, par déplacements d'un seul pas dans les deux sens 1 et ->. Si l'on désigne les deux sens par a et 6, à chacun des déplacements indiqués correspond une permutation avec répétition de X lettres a et dey lettres 6, et inversement. On a donc

Le carré arithmétique ne diffère pas du Tableau des nombres figurés, qui a été étudié par Fermât (n® 38); mais la méthode de calcul pour obtenir l'expression d'un terme quelconque du Tableau, en ne passant que par les permutations avec répétition de deux éléments, est beaucoup plus simple que la méthode anté-

rieure de Fermât, pour le calcul des nombres figurés et des combi-

naisons.

54. Échiquier triangulaire. — Il a été considéré par M. Delan- NOT et appliqué à la solution de problèmes difficiles sur le Calcul des probabilités (* ). Dédoublons le carré arithmétique, changeons tous les signes du carré supérieur et transportons-le sur l'autre, de telle sorte que la parallèle au-dessous de la diagonale >k vienne coïncider avec la parallèle située au-dessus; nous obtenons alors une transversale formée de zéros, et en nous bornant à la partie commune des deux échiquiers qui est située au-dessous de cette ligne, nous avons le Tableau {fig- 33)

Fig. 33.

Échiquier triangulaire de Delannoy.

La loi de formation de l'échiquier est semblable à celle du carré arithmétique ; chacun des termes du Tableau représente le nombre de manières de se rendre de la première case, par déplacements successifs d'un seul pas, dans les deux sens >|. et ->, mais sans traverser la diagonale, c'est-à-dire de telle sorte qu'à un instant quelconque le nombre des pas horizontaux ne dépasse jamais le nombre des pas verticaux.

En désignant par TJ le terme de la (jr -\- i)»^'™^ ligne et de la (^-i- i)»^™« colonne, on a, par définition,

xr — pr pr+i

(i) H. Delannoy, Emploi de l'échiquier pour la solution de problèmes arithmétiques. Congrès de Nancy, Paris et Limoges. — Sur la durée du Jeu {Bulletin de la Société mathématique, t. XVI).

CBiPITIB Vît. ~~ LA CÉOHBTRIE DE SITUATION.

et, par suite.

Pour les nombre» de la diagonale,

Si l'on continue le Tableau au-dessus de la ligne des zéros, on voit immédiatement que les termes s^métriquemenl placés par rapport à celte ligne sont égaux et de signes contraires.

RehAbqiib. -- Od voit encore que les termes du Tableau, renfermés dana l'angle ^T^, et situés sur une même parallèle à ladiagonale ^7, sont respectivemenl les coefficients du développement de

Le carré arithmétique possède de nombreuses propriétés qu'il est facile de déduire de celles que nous avons établies aux n°* 4 et 10. On les trouve reproduites dans \es Jlg. 34 et 35; par suite, les mêmes propriétés s'ap-

pliqueront i l'échiquier triangulaire supposé prolongé indéfiniment, en remplaçant T^ dans les formules, en fonction des combinaisons. On par-

vient ainsi à de nombreuses relations; on en obtient d'autres, en applîquant aux coefficients de (i ^ s) (t -t- s)" le procédé de démonstration

que nous avons indiqué au n^ 74. Ainsi Ton peut trouver facilement, pour réchiquier triangulaire restreint, la somme de termes consécutifs d'une ligne ou d'une colonne, la somme alternée de termes consécutifs d*une parallèle à la diagonale ascendante, ou la somme des carrés de tous les termes d'une telle ligne.

Exemple I. — Déterminer le nombre des permutations avec répétition de X lettres a et de^ lettres b qui commencent par a ou par 6.

On trouve respectivement

Cx+y-i et Gjj^.y|.

Exemple IL — Parmi les permutations qui commencent par a, déterminer le nombre de celles qui sont telles qu'en s'arrétant à une lettre quelconque, le nombre des b ne soit jamais supérieur à celui des a.

On trouve Tj-j = — 7^ C^x-^-y-x î V^^ suite, le nombre des permulations commençant par a, qui possèdent la propriété opposée, est

jr+j^-f

Exemple III {Problème des deux files de soldats), — De combien de manières peut-on disposer des nombres tous différents sur deux rangées parallèles, de telle sorte que les nombres aillent toujours en croissant, de gauche à droite, et de haut en bas.

Supposons d*abord n = 12 et qu'il s'agisse de placer les nombres sur deux rangées égales, conformément aux conditions de l'énoncé. Considérons une des marches, par déplacements >j. et -> sur l'échiquier triangulaire de 6, pour se rendre de o sur le coin opposé en diagonale. Si l'on écrit

Fig. 36.

Les files de soldats.

successivement les nombres ï,2, 3, ..., en passant de Tautre côté de la ligne, toutes les fois qu'elle se brise, et si l'on écrit sur deux rangs les nombres situés de part et d'autre, on forme le Tableau