CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION

mais on suppose à l'avance que les cases de deux transversales parallèles à la diagonale descendante \ sont garnies de zéros.

Fig. 39.

Hexagone arithmétique de Delanooy.

Ainsi \dijig, 89 représente l'hexagone arithmétique pour a = 3 et 6 = 4» en désignant par a l'abscisse du zéro de la première colonne et par b l'ordonnée du zéro de la première ligne. Un terme quelconque HJ de l'hexagone est la somme de l'une ou l'autre des suites de différences

(1) (-oncî^i'.^-^^'-ci-^^'*^*'-*],

ou

pour toutes les valeurs o, i , 2, 3, . . . , /i de A qui ne rendent pas négatifs les indices supérieurs. En effet, on voit d'abord que ces deux sommes sont les mêmes; car chacun des premiers termes d'une différence quelconque de la première suite est égal au dernier terme de la différence de rang précédent dans la seconde suite. On voit ensuite que, pour or =^y — 6, c'est-à-dire pour tous les nombres situés sur la parallèle supérieure à la diagonale, audessus, on a H^^ o, car toutes les différences (i) s'annulent; de même, pour j^ = 2: — a, c'est-à-dire pour tous les nombres situés sur la parallèle au-dessous de la diagonale, on a encore HJ^ o, car toutes les différences (2) s'annulent. En outre, sur les axes H x etHy, pour a: = o etj^<; 6 ou pour^ = oet^ < a, chaque terme de l'une ou l'autre des expressions précédentes donne HJ=i. D'ailleurs, toute différence donnée par l'une des expressions (i)

supprime le triangle ÂKL, il reste un polygone de (j!;+ 2) côtés divisé en x triangles; mais, du sommet A, il ne part plus que (2: — y — i) diagonales, puisque AR devient un côté.

Dans le second cas, si une ou plusieurs diagonales aboutissent en L, la diagonale AK n^est pas tracée, et si Ton considère le faisceau des diagonales tracées du point L, on peut faire glisser son sommet le long de LK jusqu^en K; mais Tune des diagonales du faisceau vient coïncider, soit sur le côté KH, soit sur une autre diagonale tirée de K; on remplace alors la diagonale supprimée par AK, et Ton obtient ainsi une décomposition d'un polygone de (x -|- 3) côtés, mais avec une diagonale en plus aboutissant au sommet A. En faisant l'opération inverse, on démontre l'exactitude de la formule de récurrence et, par suite, celle de la formule précédente.

Ainsi, le nombre des décompositions d'un polygone rfe ( jr -h 3) côtés par x diagonales^ et telles que {x — y) diagonales aboutissent à un sommet désigné^ est égal à

Jf ' I 1

Pour obtenir le total Pn+2 d^ toutes les décompositions d\in polygone de (n -h 2) côtés en triangles, il sufCt de prendre la somme de tous les termes de la ligne correspondante de Téchiquier triangulaire; mais cette somme est égale au nombre placé immédiatement au-dessous du dernier terme considéré. On a donc

Au lieu de tracer [n — 3) diagonales d'un polygone de n côtés, pour le décomposer, on peut en tracer une de moins, et la décomposition contient un quadrilatère. En suivant notre méthode, on peut construire le tableau des décompositions par la considération d'un sommet désigné. On peut aussi tracer deux diagonales de moins, et chaque décomposition contiendra deux quadrilatères ou un pentagone, et ainsi de suite. On arrive ainsi à de nombreuses formules que nous laissons au lecteur le soin d'établir. En prenant, dans chaque cas, le total des solutions pour un polygone de n côtés, on parvient à la démonstration de ce théo-