CHAPITRE VII. — LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. qS

rème, énoncé par Prouhet sous une forme peu différente (Nouv. Ann. de Math, y i^ série, t. V, p. 384).

Le nombre X^ des manières de décomposer un polygone convexe de n côtés, en (d-\- i) parties, au moyen de d diagonales qui ne se coupent pas à r intérieur du polygone, est

Les lettres C et D désignent respectivement des combinaisons simples et des combinaisons complètes. En remplaçant n par (n -H 2) et rf par (n — i), on retrouve la formule (2). D^ailleurs, on peut encore étudier le cas 011 l'on trace, dans un polygone de n côtés, plus de (n — 3) diagonales, avec certaines conditions d'intersection.

Remarque. — En résumé, les problèmes suivants : Décomposition d'un polygone en triangles. — Les deux /lies de soldats. — Permutations figurées qui coïncident avec elles-mêmes en faisant tourner V échiquier d'un quart de tour, — Permutations figurées symétriques par rapport à une diagonale et n ayant aucune tour sur cette diagonale, — Manières d^ effectuer le produit de facteurs inégaux, — Déplacements de la tour sur V échiquier triangulaire, — Permutations avec répétition de deux lettres, — Marches du pion au jeu de dames, et d'autres, que nous traiterons plus lard, tels que Les fractions étagées, — Le scrutin de ballottage, reviennent l'un à l'autre, tant il est vrai que les vérités mathématiques de l'ordre arithmétique sont peu nombreuses ; souvent des vérités qui paraissent distinctes et éloignées l'une de l'autre ne diffèrent que par la forme extérieure et, en quelque sorte, par le vêlement qui les couvre.

Exemple /. — Le nombre des points d'intersection des diagonales d'un polygone de n côtés, à l'intérieur de ce polygone, est égal à G^, si trois diagonales ne concourent pas en un même point. — En effet, le nombre de CCS points est égal au nombre C^^ des quadrilatères intérieurs que l'on peut former avec quatre des n sommets du polygone.

Exemple II. — Si l'on joint de toutes les manières possibles n points d*un plan, les lignes de jonction se coupent en 3Cj^ nouveaux points.

En effet, les côtés opposés des quadrilatères considérés dans l'exemple

précédent se coupent en deux autres points, distincts des sommets et du point «rintersection des diagonales.

Autrement. — Le nombre de toutes les lignes de jonction est C2; le nombre de toutes les lignes de jonction qui ne passent pas par deux points désignés est Gjl.,; par suite, puisque cbaque point d*intersection se trouve sur deux droites, le nombre des points d'intersection de toutes les lignes, autres que les n points donnés, est

1 n n "'" --ni n — aUn —3) p.

Exemple IlL — Dans un polygone convexe de n côtés, le nombre des points extérieurs d'intersection des diagonales est égal à

li ni n — 3 K /i — 4 ) ( /> — 5 ).

Kn effet, le nombre des diagonales qui ne passent pas par deux sommets désignés est

par suite, le nombre de tous les points d'intersection des diagonales, tant à l'intérieur qu'à rextérieur du polygone, est

i/i^/i 3){n^ — yn-^il);

si l'on en retranche It* nombre Cj^ des points d'intersection à l'intérieur du polygone, on trouve la formule demandée.

ICj't'nip/r IV, - Ancienne méthode pour trouver le nombre des manières de dérompn.ser un polygone en triangles par des diagonales.

Soit AnC...lIKL un polygone <le (^/i-t-i) côtés; désignons par Ph-m le nombre des manières de le décomposer en triangles. Le nombre des décompositions dont fait partie le triangle ABC est évidemment P^, nombre de décompositions du pol\gone AC...lIKL;lo nombre des décompositions <lont fait partie le triangle ABI) est PaP^-i, car le triangle BGD peut se combiner avec chacun des P/i . 1 modes de décomposition relatifs au polygone \1)K...KL; le nombre des décompositions dont fait partie le triangle ABK est P^P/i-j, car chaque mode relatif au quadrilatère BCDE doit se combiner avec chacune des décompositions du polygone AEF...KL; et ainsi de suite. Puisque Ton obtient toutes les décompositions possibles et chacune une seule fois, on a donc

(l) P/i-hl ~ P/i H- P3 P/i-I -r- P^ P/i-i -r-. . .4- P/i-1 Ps-^ P/i»

Considérons maintenant le polygone ABC...1IK de n côtés, et examinons les modes de décomposition dans lesquels on emploie chacune des diagonales issues du sommet A. Par un raisonnement analogue à celui qui