CHAPITRE VIII. — LA MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE

comme cela a lieu pour les deux groupes 1, î2, 3, 4, et 0, i, 8, 12, <|ui reproduisent les seize premiers nombres. Dans ce cas, on a les théorèmes suivants : Dans tout carré magico-magique, la somme

ri g. 53.

ii^

Les vingl-quatre sommes constantes d'un carré magico-magiquc.

(les huit nombres placés dans les deux diagonales égale la somme des huit autres. Il en est de même pour la somme des carrés et pour la somme des cubes (*).

69. Formules d'Euler pour les produits des sommes de quatre carrés. — On a l'identité

indiquée parFiBO]XAcci; elle exprime que le produit d' une somme de deux carrés par une somme de deux cafrés est une somme de deux carrés. En changeant le signe de /?, on obtient, dans le

(*) Voir notre article du Journal de Matliém%tiques élémentaires, 1887, intitulé : Les cannés magiques de Fermai et de Frénicle.

cas général, une autre décomposition ; mais, si a ==/>, 6 =^, on a la décomposition unique

(|ui est la formule fondamentale des triangles rectangles en

nombres f dont la théorie sera exposée plus loin.

La formule précédente a été généralisée par Euler qui a donné

le théorème suivant : Le produit d^une somme de quatre carrés

par une somme de quatre carrés est une somme de quatre carrés,

Kn efTel, si Ton remplace les sommes par des produits dans le carré

magi(|ue du numéro précédent, et si Ton donne le signe — aux

termes de la première diagonale, on trouve qiie la somme des

expressions

( - ap -h es -+- d(j -^ bry

-t- (h dr — bq -f- as -h c/> )*

-H ( f • 65 -^ dp — cr -f- aqY

~\- ( ■¥■ cq -H ar -\- bp — ds)^

égale le produit des deux sommes de quatre carrés

En permutant/?, q, r, 5, on a vingt-quatre formules distinctes; puis, en changeant le signe de/?, on en obtient vingt-quatre autres. Ainsi la décomposition du produit des sommes de quatre carrés en quatre carrés se déduit très facilement de la considération des carrés magico-magiques.

DnioscHi a donné des formules semblables pour le produit de deux sommes de huit carrés; mais, contrairement à ce que Ton pensait, M. Samuel IIobehts a démontré qu'il n'existait pas de formuhîs analogues pour les sommes de seize carrés, ou plus (T/ie Quarterly Journal, 1879 et 1880).

D'autre part, il ne peut exister de formule semblable pour les

sommes de trois carrés : ainsi 3 et 'M sont des sommes de trois

carrés

3 = i«-hi«-hi« cl 21 = 4«-i-2«-M*,

et leur produit 63 ne peut être décomposé en moins de quatre carrés. De môme, le produit des deux formes

a*-4- ^'-h 'ic', />'-+- 7' -h ir'