CHAPITRE VIII. — LA M l LTI PLI CATION ALGÉBRIQUE

on a les formules

A-i-B-i-CH-D=o, Aî-i- B»-f-C«-4-Dî= JSa»,

A«-+-BM-C»— DSrrr 8o a^>c. 2 rt«, A7-f- B^H- C7-:- D"r- 56a6c( 3 Sa^ -r- io2rt«6«), ABGD =-- Srt^— 9.2aî6s.

Exemple IL — Si l'on désigne par A, B, G, D les polynômes h -^ c -^ d — a, c-^d~\-a — b, d -'- a -h b — c^ a -\- b -\' c — d,

et par P, Q, B, S les polynômes

les valeurs de l'expression

p«^ Q/i^ R«+ s«— A«— B« — C«— D« sont

pour 71—2 o,

» 71 = î \f^'?.abcd^

» 71=6 96oa6crf.2n*,

» 71 = 8 896 a6crf( 3 2^^-1- loSa»^»»).

Exemple IIL — En conservant les notations de l'Exemple précédent, on a la formule

ABCDPQBS = 2a»— 4Sa6^î-4-6SrtV6^-f-42a^6«c«— 4ort«6«c«rf«.

Exemple IV\ — Développer le produit des seize facteurs

a ■±. b -i^ 1 c z^: d zti e.

Si l'on remplace, dans VExemple ///, le nombres? par (c?-i-e), puis par (d — e), et si l'on multiplie les résultats obtenus, on trouve

Sa»»— 82:a»*6«-f- 28Sa»»^v^ 4olfir»»^»5c2 — 56£a«o6«— 72i:a»o^>^cî— i76Sa»o^2c«rf*

-+-7o2a»68-4-4o2:a8 66c»-!-36Srt8^»^cV-{-344Sa8 6^c«rf*-7522a»6«r;«^/«eî -+-i62a*6«c*— 4i6Sa«6«rîrf«— 272Sa6 6*c^f/«-i-9282a6 6^c«c^«e» 20o82a*6*c^c?^— i52o2ûf^6*c^r/2e«.

Cette méthode de calcul est due à Dkscartes.

124 LIVBE I. — LES NOMBnES EXTIEBS.

68. Le carré magico-ma^que de Fermât. — \\ec deux groii|H-s df quatre nombres a, b, c, d, et p, q. r. s, on forme une tabh^ d'addition à deux entrées, comme celle de Pvihairore ( fis. 5i .

Fiu. hi.

a — p, b—p. c--p, dp,

Table d'addition.

En permutant les lignes, ou les colonnes, ou en échangeant les lignes et les colonnes, on forme 2( i.2.3.4)*= i loa tables distinctes. Si Ton prend quatre nombres d'une table, de telle sorte qu'il nV en ait pas deux dans la même ligne ou dans la même colonne, on obtient une somme évidemment égale à celle des huit nombres donnés. Pour chaque table, il existe ainsi vingt-quatre sommes constantes, en nombre égal aux ])ermutations figurées de quatre objets (n" 43).

Echangeons deux à deux les huit nombres placés symétriquement par rapport au centre du carré, et qui ne sont pas situés sur les diagonales; puis, échangeons deux quartiers opposés de quatre termes, l'inférieur à gauche et le supérieur à droite ; nous formons ainsi le Tableau que l'on appelle carré magico-magique.

Fig.

a -^Pj

Carré niagico-magiquc.

Si l'on fait la même transformation sur les permutations figurées, on trouve \a fig. 53. Par suite, la somme des quatre nombres du carré magique qui correspondent à quatre cases grises de cette* figure est constante. Il y a donc i iSa carrés magico-magiques.

On peut tripler ce nombre lorsque

a -^ d — b -h c et p — s = q -\- r.