Formules de Lagprange. — On a Tidentité suivante

= [—«/? -h [ics H- \\kdq -+- X 6rJ* -f- \k[\dr — \b(] -^ as -h c/> ]* -+- X|jl[65 -i- dp — cr -\- aq^ ->r \\\ï.cq -^ ar -X- bp — jjlé^*]*;

pour X= [A = I, on retrouve les formules d'EuLEn.

On a encore cette autre identité de Lagrajnge, qui s'applique à un nombre quelconque de carrés :

(a'-+- 6*-h c*H- rf* )(/>'-}- 7*-f- r^-h s*) = {ap -h bq ~ cr -^ ds)^

-^ (aq — bp)^~- {ar — cp)^

-r- ( as — dp )5 -\-{br — cq )* -^{bs — dq)^-\-{cs — dr)^.

On remplace ainsi le produit de sommes de n carrés par une somme de (i-hC^) carrés, tandis que le produit efl'ectué donne n^ carrés.

Exemple I. — Vérifier les formules suivantes, dans lesquelles Un désigne le terme de rang (/i -m) de la suite de Fibonacci (n° 3) :

Mf-t- l/|-i-...-h W,î= l//jM«+i,

wi — Ufi^i Un—iUn^i <//}+] = I ,

MiMj-h W,M8-i-...-hMtrt-lWï/i= "î/i, MiMi-i- Ml ^3 4- . . . -H Mm Wî„+i = MÎrt+i — I.

La première des relations précédentes est due à Albert Girard; ell donne lieu à un curieux Paradoxe géométrique (voir nos Récréatio niathématùjuesy t. 11. — Cinquième Récréation).

Exemple II, — Considérons la suite récurrente donnée par la formu

et par les deux premiers termes Uo et U| ; soit, de plus, Un, le terme c ranf; (n -f- i) dans une suite donnée par la même loi et dont les deux pr< iniers termes sont «o~ o et M| = i; vérifier la formule

/Cx(*mp/e III. -- Si/> — 67 ztz 1, on a Tidentité

i/>s .-ir-:{S</-i)^-^{Sqz-i)^'-iiq)K

Exrmpfr /T. — Le carré et le cube d^une somme de trois carn sniit drs sommes de trois carrés, — En effet, on a

-f- (^ 3' — 3 zx^ — ixy^ -f- 5 >'* ;*. l'IuH ^énénilement, M. Neubrrg a démontré que toute puissance de

ml un nombre de la mémo forme {Mathesis, U p- jS). h'.reni/d(î T. — Si l'on pose

P — a« -h ^* -h c* — bc - ca — ab, Mil il li'H identités

•xV - {b '- e)^^{c — a)^-^(a—by,

•il*« ib c)^~h {C — a)^-i- (a — b)^,

l'a I „ — f,)i („ c)! -+- (6 — c)» (6 — ay -+- rc — ay(c — 6)«,

ifi i b \ r)V a* • />'-4- <•*— 3a6c.

/•//rm/i//' 17. — On n Tidenlité

d*ili» Itiquelle nii nuppose