THÉORÈMES DE LAGRANGE ET DE WILSON

Exemple. — Trouver une racine primitive, de ii. Les facteurs premiers de losont 2 et 5. Il faut donc former les puissances deuxièmes et cinquièmes des entiers ±2, ±3, ±4, ±5. D'ailleurs il est inutile de former les puissances cinquièmes, parce qu'on sait (n° 10) qu'elles sont égales à rfc i. On obtient ainsi les entiers 4> — 3, 5, 3. Il reste 2, — 3, — 4> — 5 qui sont racines primitives.

Pour plus de développements sur le calcul des racines primitives voir la note I de ce chapitre.

14. Relation entre les indices d'un même entier relativement à un même module premier p, dans deux systèmes de bases différentes g et g'. — Soient i et i' ces indices, de sorte que :

On en déduit d'où

(mod. p).

i ^ i' Indg g' (mod. p — i).

Telle est la relation cherchée qui peut aussi s'écrire, en remarquant que Indj, g' est premier à p — i :

■'= iii? '■<"""'• '^-■'-

Si l'on suppose a = ^r la relation donne en particulier : Ind^. g X Ind^ g' = t (mod. p — i).

15. Théorèmes de Lagrange et de Wilson. — Soit p un nombre premier >> 2 .

Si l'on considère les deux congruences

xP-^ — 1^0 (mod. p)

et

(ce — 1) (x — 2) ... (a; — p H- 1) ^ o (mod. p)

elles admettent toutes deux les p — i solutions x == i, 2, ... p — I, C'est évident pour la seconde, et pour la première cela résulte du théorème de Fermât. Si on les retranche membre à membre on obtient une congruence qui admet les p — i mêmes

24 THÉ(tUlE DES NOMBRES

solutions. Or cette congruence n'est que de degré y) — 2. En appelant Si la somme des entiers i, 2, ... p — i ; S2 la somme de leurs produits deux à deux, etc., cette congruence s'écrit :

Sio:?-^ — 82^;''"' 4- ... + Sp 2a; — Sp i — 1^0 (mod. p).

Puisqu'elle se réduit au degré p — 2, et qu'elle a /> — i solutions, d'après le théorème du n° 4, tous ses coefficients sont congrus à zéro. On a ainsi les congruences.

Si = Sj = ... =Sp 2 = o ) , , . c; \ \ (mod.p).

Les p — 2 premières constituent le théorème de Laguaxge, la dernière, le théorème de Wilson (').

Ce dernier est vrai aussi pour p ^ 2. Il est susceptible de réciproque. Si l'on a