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1 ne p res : * '

ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs

a a + b, ax b, 7

il en est donc de même des fonctions de variables quel-

conques T+y, xy, ci considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que, x étant

NS dE positif, Test positif.

38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.

Soient x, y, ... des variables, /, v, ... des fonctions de ces variables, chacune des fonctions f, +, ... pouvant être fonction, soit de toutes les variables x, y, . .., soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables f, », ... peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction K(f, », ...), qu’on peut alors considérer comme une fonction (x, y, ...) des premières variables æ,y, ..., par l'intermédiaire des fonctions f, », … ; on

dit que c’est une fonction composée de x, y, ... ou, dans le cas d’une seule variable + et d’une seule fonction intermédiaire /, une fonction de fonction. C’est ainsi qué, +, y, z étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles, x + (y + 2), æ>x<(y + z) sont des fonctions de x, y, z, par l'intermédiaire de æety + z3.0n a, à ce sujet, le théorème suivant :

Si f, ©, ... sont fonctions continues de x, y, ... et si F est fonction continue des variables f, ©, …, la fonction (x, y, .…) — F(f, ©, ...) est fonction continue de x, y, …

Soit, en effet, une suite de points (x V1 Le de (æ, Y2s .. à. CHOPON (rs Un» : ni de

tendant vers un point (x,, y,, …). On suppose que F se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que j, »,

sont définies en tous ces points, et que, en posant, nee, Tell Ey

[ns Uns 0) — EL p(Tns YUns ….) = Dns

F est définie pour tous les points (fn, on, =. .). Puisque f, o, ... sont continues, Ona

lim hr = fo lim On == Do ….,

et F étant continue en tant que fonction de f, », …, on a “4 È

Lim F{fn, on, ...) = F(fo> Pos +++) 5 } ce qui s'écrit, lim P(Tys Uno 17 (xs VITE s.…).

La proposition est donc démontrée.