Soit /(x, y, ...) une fonction d’un ou plusieurs ar

guments rationnels, supposée uniformément continue dans …

tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas,

d’après les $$ 32, 33, 34, pour x+y, x—y, xy, 2) Un point (x,y,...), rationnel ou non, peut avoir la pro-

priété d’être intérieur à un champ dans lequel f est définie. [Cette condition est remplie par tout point (x, y) dans le cas des fonctions æ+y, æ—y, xy; par tout point (x, y) pour

lequel y=<0, dans le cas de = Nous allons définir une

fonction F(x, y, ...) qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à f(x, y, ...) en tout point rationnel où f est définie, et quisera continue ($ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.

Soit (Zos Yo. ...) un point possédant la propriété indiquée : il ya donc un champ borné C auquel (x, Yo, - ..) est intérieur, et tel que f est définie et uniformément continue dans G.

On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers (ro Ur 00) SOI |

(D) tri UE (Te UE CONS OS ET DST ETES

Du fait que (x, Yos ...) est intérieur au champ C résulte que, quand n dépasse une certaine valeur, le point (æs; Yns .- ) appartient au champ C ; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).

Fa: À AV Te Dore A €

à À À LES PNR à

Fi Re, PRINCIPE D'EXTENSION 31 Le 1° Je dis que la suite de nombres

. (2) PARENT RÉRU E AN TD SE ARR fëns Le PGA EURE

a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à e>=>0 corressi | pond «> 0 tel que, pour deux points rationnels du champ C:

= (x, y, ...), (x, y; ...), les conditions

M mn lu y |<e :..

entrainent | | ne (4) es y, 2) fl, y, 2) 1 <e.

Hi. Ona

LÉ rt, lim y, = Yo PE

| RD tQuant le Théorème [ (1e) ($ 23) aux suites (en nom- Dre fini) æ,, y», ..., On voit qu'à « correspond un entier p, ot OR DOUTE Di VS DIONn a

Fam | <a, y y << es de et par suite, d'après (4), ; TA (Lis Yyo . a) [US iles)

pu [ns Un...) atune limite X. l

20 Je dis que la limite À n’est pas changée si on remplace la 2. Pinite de points (1) par une autre suite de points rationnels du à champ CG tendant aussi vers (0; Yos ...), SOit

F (re Yi “. ‘) (us Vs .. A ee 0 (a LA .. a?

En effet, d’après le Théorème II (4°) ($ 24), des conditions

HP = TS, HT = Ve (-..

| lim x, = %, lim y! = %, CS

| à on déduit que, quand n dépasse une certaine valeur P; on à # [an — 2 | <o, [Yn—yn | <a, +.

par suite |

ki Hé.) Ten) Se

BAIRE. — NOMBRES 1RRATIONNELS. 3

D labre le Théorème I (2°), comme e est arbitraire, cela signifie, |

: "x À 2 LE d a ù À ÿ FA ANA "4 ET A ART RAI L" à LA PE VF | « Ds 0 RUE: ME ÉRORAVR EI TOR Cut CPR Sous L'ANGE 2 Rai EN a Ver à:

(4 CEE

D’après le Théorème II (2), cela signifie que f(x, he Ve tend vers la même limite que f{(æ», Yn; ...), C'est-à-dire vers À. y Ainsi À ne dépend que de (%6, Yo; - ..). |

Quand (x, Yo, .-.) est un point rationnel, on as

À = f{to, Yo, - ..). Il suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont idéntiques à (to, Yo, ...): dé l2) est alors Jen on |

On reconnait ainsi qu’une fonction devant remplir les condi- À tions imposées à F doit nécessairement, au point (x, Yo: - ER | avoir pour valeur À. Nous poserons donc. F{xs, Yo, ...) = À. :

Je dis que F à la propriété suivante :

deux points (x,y, .….), (x, y’, ...) quelconques du champ C, les 1 conditions ne

(5) [x—2| <a, ly—y' | <a, entrainent

(M Le RS | ALT FOR US.) Te A IS ES

ASE CR 1 œi prenons une suite de nombres rationnel: du, an … Compris entre x et x’ et tendant vers x; pre nons de même une suite de nombres rationnels LATE TT te x, Compris entre x et x’ et tendant vers x. Si x = x prenons une suite de nombres rationnels 2x1, æ2, ..…., 2%», ten dant vers æ et tous contenus dans l’intervalle de variation de œ | relatif au champ C; prenons 2 = x, On a ainsi dans tous LU les cas à | Zn — zh LEE

champ C:

(ai Ua et) (Dar Vase Uns 4) TRE (dis Vas 0), (Œs Var ee), (as Yu hs

PRINCIPE D'EXTENSION 4 ayant respectivement pour limites les points LENS Eu 68 ou z', y',...), et tels que RSR Lun— ya | <a, | On a donc, quel que soit n, : Ro flan (ce.

D’après le Théorème IV ($26), le premier membre a pour limite le nombre | lim f(x,, ya, ...)— lim f(æn, y, .…) |, C’estz à-dire [F(æ, y, ...)—F(x', y, ...)1. Donc

PTE US RE Fay) Re

£y Cela étant, la fonction F(x,y, ...) est continue dans tout

Champ où elle se trouve définie; car, soit une suite de points | quelconques

(AS Jo PR Sa V2» HER sn CErS Un» a

.). Supposons F définie en .) soit

| F(x, VE .. .)— F(xs, VUns FRAIS CA

2 ce qui montre que F(x,, y», ...) a pour limite F{x, y, ...).

| + On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conue luit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction | F est la fonction [ étendue, et je procédé qui permet, en partant

, Puisque chacune des fonctions d'arguments rationnels :

Ty; 4 est uniformément continue dans

Ro 74 Vu re PT PRG ane “e " FL

Se.

tout champ borné où elle se trouve définie, le principe d’extension est applicable à ces fonctions, et donne naissance à des fonctions d’argu ments quelconques, que nous désignerons en-

T Core par st y NT y, TU, ne et que nous appellerons

somme, différence, produit, quotient ; les trois premières sont définies en tout point (x, y), la dernière en tout point pour lequel y-<0; chacune d'elles est continue dans tout champ où elle se trouve définie. Cette définition est nouvelle pour

æ TV, XY, th en ce qui Concerne æx—7y, nous avons

déjà défini sous ce nom (Section V) une certaine fonction qui se réduit, quand x et y sont rationnels, à la différence x — y

définie en arithmétique et algèbre élémentaire, et qui est con-

tinue ($ 30) : cette double propriété montre l’identité de la définition de x—7y de la Section V avec la définition actuelle.

1 AC AUS CR Le nombre que (qui est défini si æ=0) est dit l'inverse

de x.

37. De la définition de F résulte la propriété suivante : Si un point (%o; Yo; - ..) est intérieur à un champ C, et si les valeurs de f(x, y, ...) aux points rationnels de C sont comprises entre des nombres M, m, le nombre F(x, yo, . ..) est aussi compris entre M et m.

En particulier, on déduit de là que, si x et y sont positifs, T +, XV, : sont aussi positifs, car, en prenant des ROMAPE rationnels a, a’, b, b', tels que

(sen ee A DECO LP

les fonctions d'arguments rationnels æ+7y,xy, —> dans le y À

champ C : ax < 4’, b<y< b',