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43. Transformons la définition de la continuité donnée au $ 29. Soit f(x, y, …) une fonction des variables x, y, .…., définie dans un champ CG, et qu’on suppose continue au point (x; Yos -..). Soit « un nombre positif ; considérons le champ r :

(4) Lo—4<LX< To +4, Y— a LY < Y +0,

On reconnaît que si (æo, Yo...) est intérieur au champ C, le champ F, quand « est suffisamment petit, est entièrement contenu dans C; cela n’a pas lieu quand (x, Yo...) n’est pas intérieur à C, mais les champs C et T ont toujours un certain champ commun. Il sera entendu, dans la suite, que l’on désigne par champ T l’ensemble des points contenus dans GC et satisfaisant à (1). |

Les valeurs de f aux points du champ T forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure M, et m, ; si on remplace « par un nombre inférieur +, le nouveau champ I’ obtenu est contenu dans T: donc on a, pour les nombres M,', m.', qui remplacent M, et m,,

M, > M, Ma < More

Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0: œ&, &, ..., a, .… Appelons M, et m, les bornes supérieure et inférieure de f dans le‘champ T, défini par les conditions (1), où l’on remplace « par «,. On a

(2) M>M> >M >, Mi << Me << BA < Mn < Buse

par Met m. | Comme chacun des nombres M, est au at sd (rs y.) 000 A CUM > re, dr.) ends qu’on ne put avoir M>> f(x Yo.) Si cela était, en prenant À tel que MX > f(tos Yes), On aurait Mi>2À; on pourrait trouver dans le champ T1 un point @ fi50 7e: NUL que flas. ya SJ ENS itdans le -U0/pOINt (do, Yes …) tel que faas Ya, …) > À, …; et généralement, dans le champ T,, un Le point (ty; Yns …)telque f(æn, Yns .…) > À. La suite des point tas Vi Po) RE YA LA) AN PARTNER ET EL ENS ES SON vers (do, Yos ..), puisque «, tend vers 0 etque | #r — % | < dm l'un — y le Donc: rs Un.) b doit tendre vers (Los Yos …), Ce qui est contradictoire avec le fait que tous les nombres f{£», Yn, .…) Surpassent À > f(to, Yos Ru

Donc f{æ; Yo, .…) = M; demême f{to, Yo +) = M

Les suites (2) ont pour limite commune {ro Yo; - --). nl en résulte que, étant donné e > 0, on peut déterminer n de ‘ manière que M, et m, diffèrent de f{x,, Y, ...) demoins de <, et par suite « de manière que, en tout point (æ, y, ...) d champ (1), on ait | ie.

(3) fes Yes 2.) ee fl, 00) ee do AE

Réciproquement, si on suppose qu'à tout nombre positif : correspond «> tel que, dans le champ (1), on a la condition (3), /(x, y, ...) est continue au point (x, Yo, ...). Car, soit une suite de points | M

(as Vas ec LR OR Vos UE AR IR TENTE

tendant vers (x,, Yo, ...); quand n dépasse une certaine valeu 51 p, le point (x, y», . .) est contenu dans le champ (4), donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant (x, y, ...) par JS (ans Uns ..-)5 ceci montre que (ro n 1904 poux ni 9

4 fa Yo, --.). Ainsi, la définition de la continuité au point 2e (%o, Yos . ..) peut être remplacée par la suivante :

re *

La fonction f(x, y, . .) est continue au point (to, Yo, -: .) St,

#5 4e) à tout nombre positif : correspond un nombre positif x tel que # les conditions À a [T—%| <a, [y—Y| < &, …. Û = 4 4 entraînent de D. WiCE Jar) Tr (Los Yo» RU SRE pe

44. Si une fonction d’une seule variable f(x), continue dans : l'intervalle borné (a, b), prend pour a.et b deux valeurs ditré-

: rentes, etsi À est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au E’ moins un nombre x, de l'intervalle pour lequel f{æo) = À.

On a a<b; soit, par exemple, (a) <f(b), et soit À

Fe pue ; | à fa) << f(b). | à:

# a > a tel que, dans (a, A f(x) est toujours < À, et un uombre b'<b tel que, dans (b’, b), f(x) est toujours >> A. Considérons les nombres c compris entre a et b et tels que, 2 dans l'intervalle

: TRS es

Fe fe ) est constamment <Z À. L'ensemble de ces nombres com- D prend a, ne comprend pas les nombres supérieurs à #'; la ee borne ue x, de cet ensemble est donc telle qu’on a

DRE RD à

D’après la définition de x,, pour tout nombre x intérieur à | f (a, ï), on à f(x) <X, tandis que, quel que soit «> 0, LP

l'intervalle (a, za) contient des points où f(x) > À. Donc l'intervalle (x —2, %o+ a) contient des points où fiæ <À et d’autres où f(x) Z À; donc les bornes supé- rieure et inférieure de f dans cet intervalle comprennent

entre elles À, et comme elles tendent toutes deux vers f(x) quand + prend une suite de valeurs tendant vers 0, il en résulte