QUE NE NE

On exprime ce fait en disant qu’une fonclion continue d'une variable ne peut passer d’une valeur à une autre qu'en passant

par toutes les valeurs intermédiaires.

45. Une fonction d’une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ, chacune de ses bornes supérieure et inférieure.

Je démontrerai d’abord la proposition préliminaire suivante :

Soit f(x, y, ...\ une fonction quelconque définie en tous les points d’un champ borné C; soit M la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de f aux points de C. Je dis qu'il y a un point (to, Y, ...) de C tel que, quel que soit <> 0, dansle champ

En PrenSE HPSRE H E Uo —€ LYS Yo+E 55 la borne supérieure de f est M.

Soit C le champ borné à p variables

(1) A<T< 4 b<y<b', Sr

Partageons C en % champs partiels, chacun d'eux s’obtenant en remplaçant dans (1) l'intervalle de variation (a, a’), soit par

a+ a/ a+ a À (a ; } soit par Core a); et opérant de même

pour chacune des variables 7,... La borne supérieure de f est |

égale à M dans l’un au moins de ces champs, car la borne dans C est égale à la plus grande des bornes dans les divers champs partiels. Soit C, un champ partiel dans lequel f a pour borne supérieure M ; désignons C; comme il suit :

(2) AU LT < &, by << y < bi, Fur

RAT AS à Ko à GANTS PAPE RTE ON

! a — a HET D Ad — a —= , bo — bi — ———;

En opérant sur C1 comme on a opéré sur C, et répétant indéfiniment l'opération, on obtient des champs (Fr CET Cote en Chacun desquels f a M pour borne supérieure. Si 4», d'n, bn, bn, .… correspondent à C, comme a, a!, b, b!, à C, ona

a SANT EL NEO r PRE AS ST ie TE Ne NT De

SSSR CAL …e LAN NET nie TRE LEE

avec

Les nombres a, a!, ont donc une limite commune %,, les nombres b,, b, une limite commune y,, etc...

Le point (x, yo...) est tel que, quel que soit 5: > 0, le champ

(3) T-e<r<T+eEe, Yo —E SKY Yo + E sd contient, quand n est assez grand, le champ C, An LT < An by L'b}, st

dans lequel la borne supérieure de f est M. Donc f a pour borne supérieure M dans (3), quel que soit + > 0.

Appliquons cette proposition au cas où f(x, y,...) est continue dans le champ C.

Comme, dans le champ

[T—a|<e, [Y— Yol KE, 40%

la borne supérieure de f est M, quel que soit :, il en résulte,

d’après la continuité de f ($ 43), que MP en

Cela montre en premier lieu que M est un nombre fini, c’est-

à-dire que f est bornée supérieurement, et en second lieu que f atteint la valeur M en un point au moins. De même, on mon-

trera que f est bornée inférieurement et atteint sa borne infé-

rieure en un point au moins.

46. Étant donné un ensemble E de nombres, ayant pour bornes supérieure et inférieure M et m, le nombre positif ou nul w—M—m est dit l’oscillation de E. En particulier, l’oscillation de l’ensemble des valeurs que prend une fonction f aux points d’un champ C où elle est définie est dite l’oscillation

de f dans ce champ; si C’ est contenu dans G, l’oscillation #

Soit f(x, y, ...) une fonction continue dans un champ

borné C. En écartant le cas où f aurait la même valeur en tous les points de C (fonction constante), l’oscillation de j dans

C est un nombre positif w. Considérons un nombre positif € inférieur à w. Soit (x,,Y,, ...) un point du champ. Si on

considère, « étant positif, le champ Tr IT—%|< 0, [Y—YI<e, c..

en vertu de la continuité, l’oscillation de / dans r tend vers 0 quand « tend vers 0; donc elle est <e pour des valeurs assez petites de à; d’autre part, quand « est assez grand, T contient C, par suite l’oscillation dans T surpasse e. Soit ?,

la borne supérieure des nombres « tels que l’oscillation de f

dans Test <e: f est un nombre fini et positif, bien déter-

miné pour chaque point (x,, y,, ...) du champ. Done Ê est 2 une fonction (x, y, ...) définie dans le champ C; je dis que

c'est une fonction continue de (x, y, ...).

En effet, soit P, la valeur de 8 au point (x,, ÿs, ...); pre- 4

Set

SNL