Quand x et y sont rationnels, on a (1) (az)! — a

Étendons ce résultat au cas où x et y sont quelconques.

1° Supposons y rationnel, + étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels 1, 4, . ., 4», ... tendant vers x.

On a lim a — a et par suite, d’après le $ 53 (y étant rationnel), lim (af) = (at.

D’autre part, on a, x, et y étant rationnels,

(a®») — nt ; donc (a)! = |im (an)v = Jim an — alimen — gr,

2° Supposons x et y quelconques ; soit une suite de nombres rationnels yi, Y2, -.., Yr, -.. tendant vers y. On à, d’après la continuité de la fonction exponentielle,

lim (as — (az.

D’après le cas 1°, on a

(az }ÿn — d'Un.

Donc

(arÿ = Lim (az) — lim at = a lime — arv,

L'égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.

PT dre er

58 DÉFINITION DES FONCTIONS ‘vx, 4®, aŸ, log x

55. La fonction a(a>0 et 14) étant définie dans lintervalle (—'%, +) et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par | log, x (logarithme de x dans le système de base a). Ainsi,il y a Xe équivalence entre 40

a? Re X, PES log, INC Des propriétés fondamentales de l’exponentielle 3% QE at = QT, (ar) = 44, ce

résultent les propriétés fondamentales des logarithmes : loga XY = log, X + logY, log, XY = y log, X.

La fonction logarithmique log, X est définie pour les valeurs positives de X, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si a>1, elle est croissante, tend vers — quand … X tend vers 0, vers + en même tempsque X. Si a<1, elle est décroissante, tend vers + quand X tend vers 0, vers — quand X tend vers -—+ co. |

56. La fonction xv des variables + et y est définie lorsqu'on a æ>0, y étant quelconque. +0 Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit «a un

nombre quelconque > 0 et =£l; soit zx = log, x.

On a Le (a®} = af,

R'Pes die M AL Are

Si deux suites "ri, Te, 5.5 Dnsie se Otis NU se URI tendent respectivement vers x ety (les x, et x étant positifs), on a, en posant 2, — log æ,

. r (nr SES

limx,y, = «y,

r CHR Le

TLŸ —— az'Y — alim, Un — lim an Un — lim (a®n)vr — lim Ca L'égalité av = lima% montre là continuité de la fonction 7, »