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RARES RE ER RP Re GET PE INDE HD = x" On aura Fa) = lim f(x) < fi) < fes) < lim f(x) = F(x), c’est-à-dire ESF (x)

De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d'argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.

48. Soit f une fonction continue croissante dans un intervalle borné (a, b) ; soient A, B les bornes inférieure et supérieure de f. La fonction doit atteindre la valeur A en un point de l'intervalle, qui ne peut être que a; ainsi f(a) = A; de même /(b) = B. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le $ 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre A et B; donc si À est tel que A < À <B, | il ya une valeur et une seule de x pour laquelle f prend la valeur À.

Ces résultats s'appliquent, avec quelques modifications, si l'intervalle de variation de x est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l'intervalle (a, +); la borne inférieure A est atteinte pour a; tout nombre À tel que A<A1<B estatteint, la borne supérieure B, qui peut être, soit finie, soit égale à +, n’est pas atteinte ; mais si æ prend une suite de valeurs tendant vers + (sens étendu de la notion de limite), f(x) tend vers B. Par exemple, les fonctions croissantes a+x, axx (sia> 0), tendent vers oo en même temps que x; la fonction décroissante

al ne tend vers 0 quand x tend vers +.

Si l’intervalle de variation est (—, +), aucune des deux bornes n’est atteinte.

BAIRE. — NOMBRES IRRATIONNELS 4

EN PP EE OT DE MU ET AO ESS A RS RE . , | NOR À sg : L'ER x À Éd ent. © h f 7 me sd 7

49. Dans tous les cas, qu’il s'agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par e l’ensemble des valeurs que prend x, par E l'ensemble des valeurs que prend f(x) supposée continue et croissante : à toute valeur x de e correspond une valeur X de E; et réciproquement, sion se donne un nombre X de E, il ya un et un seul nombre x de e tel que f(x) = X; donc ce nombre x peut être considéré comme une fonction de X que je désigne par e(X). E constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est tinie, peut ne pas faire partie de E.

o(X) est croissante, car il y a équivalence entre les conditions DAS SAP OURS CENT EE c’est-à-dire, si f(x’) = X’, ffx'} = XY,c entre

X'<X" et oe[X') < e(X"}

Je dis que « est continue, c’est-à-dire que si Xo, X1, Xo, ..., X,, .. sont des nombres de E tels que lim X, — X,. ona lim o(X1) = o(X,). Nous posons mn = (X,), 2, = co(X;,). Supposons d’abord que x, ne soit pas une borne de l’ensemblee, et prenons deux nombres x’ et x” de e tels que

el € dy Cal", Ces conditions. entraînent, en posant X' — f{x'), X"=— f(x"), XEX ANR Quand » dépasse une certaine valeur p, on a

NUE. À, AXE d’où résulte Lite SONDE

Cela exprime que x, tend vers m,; donc e(X,) tend vers o(X)).

Si x, est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble e, il suffit de remarquer que l’on à alors Re x, €et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.

Il est donc établi que + est continue. La fonction e(X) est dite la fonction inverse de f(x).

De même, si f\x) est une fonction continue: décroissante, en posant X = f(x), x — o(X), on reconnait que g(X) est une fonction continue décroissante. |

DÉFINITION DES FONCTIONS ‘Yx, ar, av, logæ 55

XIIT DÉFINITION DES FONCTIONS ‘Yx, a”, x, logæ.

50. La fonction X— 2x”, m étant un entier positif, considérée dans l’intervalle (0, +), est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à 0 pour æ— 0, ettend vers + quand x tend vers + ©. On désigne la fonction inverse de X = x” par la notation

x = "YX :

c’est la racine m° arithmétique du nombre positif X. On voit que c’est une fonction continue et croissante de X dans l’intervalle (0, +); elle est égale à O pour X—=0, ettend vers +—æ en même temps que X.

Si « est une fonctiondes variables x, y, ..., Continue et non négative dans un champ, ‘Vu est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du $ 38.

51. D’après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini "Va (a > 0), comment on définit a”, x étant un nombre rationnel quelconque ; a* est ainsi une fonction d’argument rationnel, définie dans l'intervalle (— , +); on démontre qu’elle a les propriétés suivantes :

ne a rt

PAS (a*)” — a??’ |

3° a* tend vers 1 si x prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers 0 ;

& Si a>4l, a estcroissante; si a<1A, a est décroissante.

56 DÉFINITION DES FONCTIONS x, a°, &v, logæ

Je dis que la fonction d’argument rationnel az est uniformément continue dans tout intervalle borné (x, 8). Il s’agit de satisfaire à l’inégalité

[a — a" |<e, qui peut s’écrire ar [at#"—1|<e.

Or, si A est un nombre positif supérieur à a® et af, comme a est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité

À. Far A | <e,

ou é ja] <

Or, cette inégalité est vérifiée quand on a [æ—2'|< 2,

« étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3°.

Aïnsi le principe d'extension s'applique à la fonction d’argument rationnel ar et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler a, définie pour toutes les valeurs réelles de æ, continue, croissante si a > 4, décroissante si a < 1, égale à 4 si a — 1. C’est la fonction exponentielle.

Si a>œ 14, comme a” tend vers + en même temps que m si m estentier, az tend vers + si x tend vers + œ. De même, a’ tend vers 0 si x tend vers — oo. Le cas de a <1 s’étudie de même. | |

52. Les fonctions suivantes des deux variables x et y: a <a et a? sont toutes deux continues, car si on a deux SUILES: 2 dis Mes ess En ce LODOANt VOTRE CLAUITE ese Uasees tendant vers yo, On à, d’une part

lim ar = 4%, lim ar = a, d’où lim af». ar = a. ao,

d'autre part lim (2, + y) = to + Yos

‘d'où | lim an tn — got,

DÉFINITION DES FONCTIONS ‘ÿx, a7, x, log x 57

Les fonctions continues a. a’ et a*+v, étant égales quand x et y sont rationnels, sont aussi égales quand x et y sont quelconques, d’après le $ 39. Donc on a toujours

at at = ar.