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tionnels x tels que

DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS té

avec 2— x? Le, A — 2 Le,

Rangeons dans une première classe A les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs x pour lesquels x? <<2, dans une seconde classe B les nombres positifs x pour lesquels x? >> 2. On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre

rationnel fait partie de l’une des deux classes, et tout nombre

de À est inférieur à tout nombre de B.

[I n’ya pas dans À de nombre supérieur à tous les autres,

c’est-à-dire que si x appartient à À, on peut trouver dans A

un nombre x > zx. Il suffit évidemment d'examiner le cas où æ estpositif. Ona 2? <2; prenons « rationnel et positif tel que e<Z2—x?; on peut trouver æ > 0 telque x°?<2 avec 2—zx?<e On aura 2—x?<Ee<2— x, d'où ma, x >, et x! appartient à À.

De même, il n’y a pas dans B de nombre inférieur à tous les autres, car si æ appartient à B, ona x? >92; soit e rationnel tel que 0<Le<ax— 2; on peut trouver x tel que

a?>2 avec x?—2<e,, d'où x?—2<x—92, d’où x'<zx, et zx appartient à B. ;

On peut réaliser le cas 3° de telle sorte que, a et à étant deux nombres rationnels donnés (a <b), a fasse partie de la première classe et à dela seconde. Remarquons que, dans l’exemple précédent, 0 fait partie de A, 2 fait partie de B. Cela posé, ran-

géons dans une classe A’ les nombres rationnels x tels que

is fait partie de À, dans une classe B’ les nombres ra-

n fait partie de B. Comme il y a

équivalence entre les conditions

2(x — a) Le 2(x' — a) ;