DES LIMITES ET DE LA CONTINUITÉ

SOMMAIRE I. Définition des nombres irrationnels. — IT. Bornes supérieure et inférieure d'un ensemble. — IX. Limite d’une suite de nom-

bres. — IV. Valeurs approchées d'un nombre. — V. Différence de deux nombres. — VI. Théorèmes sur les limites. — VII. Nolions de fonction et de continuité. — VIII. Fonctions d’'arguments rationnels. — IX. Principe d'extension. — X. Extension du calcul algébrique. —/X1. Théorèmes sur les fonctions continues. — XII. Fonctions inverses, — "XII. Définition des

fonctions . Yx, a”, &?, log x.

4. Rappelons les propriétés suivantes de l’ensemble des nombres rationnels : é

1° De deux nombres rationnels différents, l’un est plus petit que l’autre; si a, b, c sont trois nombres rationnels tels que ab, b<c, ona ac. Ces faits s'expriment en disant que l’ensemble des nombres rationnels est ordonné.

2° a étant rationnel, il y a une infinité de nombres ration-

nels inférieurs à a, et aucun d’eux n’est supérieur à tous les autres ; il y a une infinité de nombres rationnels supérieurs à 4,

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et aucun d’eux n’est inférieur à tous les autres ; si aet # sont rationnels et si a <b, il y a une infinité de nombres rationnels c telsque a <c<b.

2. On dit qu’on effectue une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels si l’on partage cet ensemble en deux classes telles que tout nombre de la première est inférieur à tout nombre de la seconde. Il ne peut se présenter alors que l’un des. trois cas suivants :

4° Dans la première classe existe un nombre supérieur à tous

les autres. Soit a ce nombre : tout nombre de la première

classe est < a. Tout nombre de la seconde est > a, puisque a est de la première.

Un nombre rationnel < a ne peut faire partie de la seconde classe, sans quoi il serait >> a; donc il fait partie de la première. |

Ainsi, la première classe est l’ensemble des nombres rationnels < 4; par suite, la seconde est l’ensemble des nombres rationnels > a : elle ne contientipas de nombre inférieur à tous les autres.

20 L'hypothèse du cas 1° n'est pas réalisée, c'est-à-dire qu'il n'y a pas dans la première classe de nombre supérieur à tousles autres, mais On suppose qu'il existe dans la seconde un nombre a inférieur à tous les autres. On reconnait que la première classe est l’ensemble des nombres rationnels << a, la seconde est l’en-, semble des nombres rationnels > a.

Les cas 1° et 2 sont évidemment réalisables.

3° Aucune des hypothèses 1° et 2 n’est réalisée. C’est donc que la première classe ne renferme pas de nombre supérieur à tous les autres, et que la seconde ne renferme pas de nombre inférieur à tous les autres.