L. x fait partie de À, par suite de A; on a

Dre À P'ERRRT IL x fait partie de Bet de A';0on a De ESA

Cette catégorie comprend au moins le nombre a: elle com-

prend une infinité de nombres, car il y a, dans B, dont fait

partie a, un nombre <a, soit b; tous les nombres rationnels compris entre b et a font partie de cette catégorie. IL. + fait partie de B', par suite de B; on a | LES DES Par définition, nous dirons qu’on a Fa AE) pi yadans À un nombre qui n’est pas contenu dans A’. Ce cas ne diffère du précédent que par ce que les rôles des nombres À et l’ sont permutés ; nous dirons qu’on a AC N De cette étude et des définitions données, il résulte que, si À et X sont deux nombres irrationnels :

Pour que À =), il faut et il suffit que tout nombre rationnel inférieur à l’un de ces nombres soit inférieur à l’autre ; Pour que AW, il faut et il suffit qu’il existe un nombre

rationnel a tel que À <a, D'UN

7. L'ensemble des nombres réels est ordonné, c’est-à-dire que,

si À, um, v, sont trois nombres réels tels que LH BY, on a Fe?

Ces faits se trouvent établis : 4° dans le cas où les trois nombres sont rationnels ($ 4) ; 2° dans le cas où un seul des trois nombres est irrationnel ($ 5); 3° dans le cas où le nombre intermédiaire est rationnel, les autres étant tous deux irrationnels ($ 6) ou non ($ 5). Dans le cas général, prenons deux

MA NS den PR EUR A A a co Le ae ETC

nombres rationnels a, b, tels que Pa, SON ALILES HaEh Fa: b y.

De au, up<b, ondéduit a<b.

De ab, b<v, ondéduit a<v.

De Aa a<v, on déduit 1< v.

Entre deux nombres réels différents existent des nombres rationnels; cela est vrai quand les deux nombres sont rationnels ($ 4), quand l’un des deux est rationnel et l’autre irrationnel ($ 5), et enfin quand ils sont tous deux irrationnels ($ 6). Entre deux nombres réels différents existent aussi des nombres irrationnels : on prend d’abord, entre les deux nombres donnés, deux nombres rationnels a ét b; le second exemple du $3 montre qu’il y a entre a et b un nombre irrationnel.

8. Les nombres irrationnels supérieurs à O sont dits positifs, ceux quisontinférieurs à 0 sontditsnégaltifs. Soit À un nombre irrationnel positif; soient À et B les première et deuxième classes correspondantes. Appelons A’ l’ensemble des nombres opposés (‘) à ceux de B, B' l'ensemble des nombres opposés à ceux de A : on a ainsi une coupure, la première classe A’ n’a pas d’élément supérieur à tous les autres, B’ n’a pas d’élément inférieur à tous les autres ; il y a donc un nombre irrationnel \' supérieur aux nombres de A’, inférieur aux nombres de B. Comme 0 est contenu dans À et par suite dans B', À’ est négatif. Nous dirons que X est le nombre opposé à À. On écrira

APTE À = —W; on dira, comme pour le cas des nombres rationnels, que à et ont pour valeur absolue commune 1 :

[Al =IX| =). ) Il est évident que À—u entraine —1=—4"n, que : | A<[p entraine —p<—à, quels que soient À et p.

(‘) On emploie aussi l'expression « symétriques », ou encore « égaux et de signes contraires ».

Ne IT BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D'UN ENSEMBLE

9. Soit E un ensemble quelconque de nombres réels. Un PE | nombre rationnel a peut se comporter, par rapport à E, de À D. manières :

1° a estinférieur ou égal à un nombrede E,;

1e 2° a est supérieur à tous les nombres de E. Ilya certainement des nombres rationnels vérifiant la con- . dition 4°. Si aucun nombre rationnel ne vérifie la condition De 2, c’est qu’il existe dans E des nombres supérieurs à tout % Do rationnel (et par suite à tout nombre réel) ; nous dirons me alors que E est 1llimité supérieurement. Dans le cas contraire, l'ensemble E est dit borné supérieurement ; les nombres rationnels se partagent alors en deux classes, 4 la première composée des nombres vérifiant 4°, la seconde com- | posée des nombres vérifiant 2; ce partage constitue une couna pure, car tout nombre de la première classe est inférieur ou égal à un certain nombre de E, lequel est inférieur à tout nombre de la seconde classe. Le nombre réel M, défini par cette coupure ($ 4),est dit la borne supérieure (*) de l’ensemble E. Ii possède les deux propriétés suivantes :

1° Tout nombre de E est inférieur ou égal à M.

2° Si À est un nombre inférieur à M, il y a dans E un nombre supérieur à À.

La propriété 1° résulte de ce qu'il est impossible qu'un

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