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telque «> a>M appartiendrait à la seconde classe relative à M, tout en étant inférieur à un nombre de E, ce qui est impossible. La propriété 2° résulte de ce que, si À <M, un nombre rationnel b tel que À << b<M appartient à la première classe, donc il y a dans E un nombre supérieur ou égal à b, par suite supérieur à À.

Ces deux propriétés ne peuvent appartenir qu'au seul nombre M, car un nombre inférieur à M ne vérifie pas de, un nombre supérieur à M ne vérifie pas 2°.

De la double propriété caractéristique du nombre M résultent les conséquences suivantes :

Dans le cas où l’ensemble E contient un nombre plus grand” que tous les autres, M est égal à ce nombre.

Si E; est un ensemble contenu dans E, la borne supérieure de F1 est inférieure ou égale à la borne supérieure de E.

Si tous les nombres d’un ensemble E sont inférieurs ou égaux à un nombre À, ilen est de même de la borne supérieure de E.

Un nombre quelconque À est la borne supérieure de l’ensemble des nombres inférieurs à 2. ;